Question

50 баллов. найти предел, не используя правило Лопиталя.
на фото. извините, что плохо видно

Answer 1

Как известно, предел не изменится, если заменить числитель и . знаменатель дроби на эквивалентные функции.

Имеем: при $x\to 0$

$tg x\sim x\Rightarrow tg\ 3x\sim 3x\Rightarrow tg^2\ 3x\sim (3x)^2=9x^2;$

$\ln(1+x)\sim x\Rightarrow \ln(1+x^2)\sim x^2;$

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{tg^2 \ 3x}{\ln(1+x^2)}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{9x^2}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{9}{1}=9.$

Ответ: 9