Question

В прямоугольном треугольнике высота и медиана, проведенные к гипотенузе, равны 24 см и 25 см. Найдите периметр треугольника.
кратко но с пояснением

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Данная задача имеет более одного способа решения.

Первый способ:

В прямоугольном треугольнике гипотенуза будет равна двум медианам, поэтому $c=50$. Площадь треугольника найдем по формуле $S=\dfrac{1}{2}ch$, откуда $S=600$. С другой стороны $600=\dfrac{1}{2}ab,\;=>\;ab=1200$. По теореме Пифагора $c^2=a^2+b^2,\;=>\;c^2=(a+b)^2-2ab$. Подставляем c и ab в формулу: $2500=(a+b)^2-2400,\;=>\;a+b=70$. Тогда искомый периметр равен $P=a+b+c=70+50=120$.

Второй способ:

Возможно было записать две теоремы Пифагора и найти катеты, как:

$a^2=24^2+18^2,\;=>\;a=30\\b^2=24^2+32^2,\;=>\;b=40$

Тогда $P=30+40+50=120$.

Здесь предварительно была использована теорема Пифагора для образованного высотой и медианой треугольника:

$25^2=24^2+x^2,\;=>\;x=7$.

Тогда вспомогательные длины равны $25-7=18$ и $25+7=32$.

Задача решена!