Question

решите неравенство log 1-x (x + 2)<1

Answer 1

$log_1_-_x(x+2)<1\\log_1_-_x(x+2)< log_1_-_x(1-x)$

ОДЗ:

$\left \{ {{1-x >0 } \atop {x+2>0}} \right.$     1-x ≠ 1

$\left \{ {{x<1} \atop {x>-2}} \right.$       x ≠ 0

x ∈ (-2;0) ∪ (0 ; 1)

Теперь рассмотрим два случая:

1)

$1-x >1\\x<0$

$log_f_(_x_)g(x)$ при $f(x) > 1$ монотонно возрастает, соответственно мы имеем право опустить логарифмы без изменения знака неравенства

$\left \{ {{x<0} \atop {x+2<1-x}} \right. \left \{ {{x<0} \atop {2x<-1}} \right. \left \{ {{x<0} \atop {x<-\frac{1}{2} }} \right.$

x ∈ ( -∞ ; -$\frac{1}{2}$)

2)

$0<1-x<1\\-1<-x<0\\0<x<1$

$log_f_(_x_)g(x)$ при $0< f(x) < 1$ монотонно убывает, соответственно мы имеем право опустить логарифмы, изменив знак неравенства.

$\left \{ {{0<x<1} \atop {x+2>1-x}} \right. \left \{ {{0<x<1} \atop {2x>-1}} \right.$ $\left \{ {{0<x<1} \atop {x>-\frac{1}{2} }} \right.$

x ∈ (0 ; 1)

Теперь осталось пересечь наши решения с ОДЗ:

x ∈ ( -2 ; $-\frac{1}{2}$) ∪ ( 0 ; 1 )

Ответ: x ∈ ( -2 ; $-\frac{1}{2}$) ∪ ( 0 ; 1 )

UPD: знаю, что можно было решить намного проще с  помощью метода рационализации, но почему-то не все учителя принимают его, поэтому я расписал классическим способом

Answer 2

Ответ: -2<х<-1/2, см фото.

Пошаговое объяснение: