(Задание из вуза про астройду)
Дана астроида и на ней точка А(а,0), B(0,a). Найти на дуге AB точку М, чтобы длина дуги АМ составляла четверть длины дуги АB (условие есть на фотках)
Приложения:
![](https://st.uroker.com/files/5f1/5f184dde964ba09238121d4e327b9681.jpg)
![](https://st.uroker.com/files/917/9179657017ebd598eb0fd50811fe6bb4.jpg)
Ответы
Ответ дал:
2
Вывод формулы длины астроиды приведен во вложении.
В задании радиус окружности задан как a.
Если принять начало дуги при t1 = 0, то L = (3/2)a*sin²t.
Длина дуги от 0 до (π/2) равна:
L = (3/2)*a*sin²π/2) = (3/2)*a*1² = 3a/2.
Четвёртая часть её равна 3a/8.
Приравняем 3a/8 = (3/2)a*sin²t.
После сокращения и приведения к общему знаменателю получаем:
1 = 4a*sin²t, отсюда sin²t = 1/4.
После извлечения корня оставляем положительное значение для 1 четверти: sint = 1/2.
Получаем угол для точки М: t = arc sin(1/2) = π/6.
Теперь находим ответ:
x(M) = a*cos³(π/6) = a(√3/2)³ = a*3√3/8.
y(M) = a*sin³(π/6) = a(1/2)³ = a/8.
Приложения:
![](https://st.uroker.com/files/6c5/6c59d2217392717165f3b2ae75b4e7f0.png)
solyanine:
Спасибо
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
2 года назад
2 года назад
7 лет назад
7 лет назад
8 лет назад