Question

(Задание из вуза про астройду)
Дана астроида и на ней точка А(а,0), B(0,a). Найти на дуге AB точку М, чтобы длина дуги АМ составляла четверть длины дуги АB (условие есть на фотках)

Answer 1

Вывод формулы длины астроиды приведен во вложении.

В задании радиус окружности задан как a.

Если принять начало дуги при t1 = 0, то L = (3/2)a*sin²t.

Длина дуги от 0 до (π/2) равна:

L = (3/2)*a*sin²π/2) = (3/2)*a*1² = 3a/2.

Четвёртая часть её равна 3a/8.

Приравняем 3a/8 = (3/2)a*sin²t.

После сокращения и приведения к общему знаменателю получаем:

1 = 4a*sin²t, отсюда sin²t = 1/4.

После извлечения корня оставляем положительное значение для 1 четверти: sint = 1/2.

Получаем угол для точки М: t = arc sin(1/2) = π/6.

Теперь находим ответ:

x(M) = a*cos³(π/6) = a(√3/2)³ = a*3√3/8.

y(M) = a*sin³(π/6) = a(1/2)³ = a/8.