Question

Вроде как просто должно быть, но вот не знаю механизма решения...

Для каждого значения a решите неравенство:
|x+1|<=2a-1

Answer 1

$|x+1|\leq 2a-1$

Рассмотрим 3 случая: с отрицательной, нулевой и положительной правой частью.

1. Если $2a-1<0$, то есть $a<\dfrac{1}{2}$.

Тогда предполагается, что модуль должен принимать значения, не большие некоторого отрицательного, то есть тоже отрицательные. Но модуль не может принимать отрицательных значений. Значит, в этом случае неравенство решений не имеет.

2. Если $2a-1=0$, то есть $a=\dfrac{1}{2}$.

Получаем неравенство:

$|x+1|\leq 0$

Поскольку модуль не принимает отрицательных значений, достаточно решить уравнение:

$|x+1|=0$

$x+1=0$

$x=-1$

3. Если $2a-1>0$, то есть $a>\dfrac{1}{2}$, то получаем неравенство с положительной правой частью:

$|x+1|\leq 2a-1$

Заменим его следующим двойным неравенством:

$-(2a-1)\leq x+1\leq 2a-1$

$1-2a\leq x+1\leq 2a-1$

$1-2a-1\leq x\leq 2a-1-1$

$-2a\leq x\leq 2a-2$

Таким образом получаем ответ:

при $a<\dfrac{1}{2}$: решений нет

при $a=\dfrac{1}{2}$: $x=-1$

при $a>\dfrac{1}{2}$: $x\in[-2a;\ 2a-2]$