Question

найти производную методом логарифмирования(3 задание). Расписывать подробно. Срочно

Answer 1

Ответ:

$y = {x}^{2} \times 5 ^{ \sqrt{x} }$

Производная методом логарифмирования:

$y'= y \times ( ln(y))'$

$( ln(y))'= ( ln( {x}^{2} \times {5}^{ \sqrt{x} } ) )'$

По свойству логарифма раскладываем:

$ln(ab) = ln(a) + ln(b)$

$( ln(y))' = ( ln( {x}^{2} \times {5}^{ \sqrt{x} } ) ) '= \\ = (( ln( {x}^{2} ) + ln( {5}^{ \sqrt{x} } ) )' = ( ln( {x}^{2} ) )' + ( ln( {5}^{ \sqrt{x} } ) )'= \\ = \frac{1}{ {x}^{2} } \times ( {x}^{2} ) '+ \frac{1}{5 {}^{ \sqrt{x} } } \times ( {5}^{ \sqrt{x} } )' = \\ = \frac{1}{x {}^{2} } \times 2x + \frac{1}{5^{ \sqrt{x}} } \times ln(5) \times {5}^{ \sqrt{x} } \times ( \sqrt{x} )'= \\ = \frac{2}{x} + ln(5) \times \frac{1}{2 \sqrt{x} }$

По формуле собираем:

$y'= y \times ( ln(y))'= {x}^{2} \times {5}^{ \sqrt{x} } \times ( \frac{2}{x} + \frac{ ln(5) }{2 \sqrt{x} } ) = \\ = 2x \times {5}^{ \sqrt{x} } + \frac{ ln(5)}{2} \times {5}^{ \sqrt{x} } \times x \sqrt{x}$