Question

2. Сколькими способами можно разделить 8 одинаковых синих и 1 красную
фишку на более , чем 1 группу , чтобы в каждой группе было не меньше
2 фишек?

Answer 1

В решении сначала будем определять число фишек в группах, а затем разбираться, в какой группе содержится красная фишка.

1. Рассмотрим случай, когда получившихся групп две.

Тогда, распределим в них минимально необходимое число фишек, то есть 2+2=4 фишки. Осталось 9-4=5 фишек, которые как-либо нужно распределить по группам. Представить число 5 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых можно 3 способами:

$5=5+0=4+1=3+2$

Таким образом, мы имеем 3 различные ситуации с точки зрения количественного состава групп. Но в каждой из этих ситуаций есть большая и меньшая группы. И красная фишка может находиться либо в большей группе либо в меньшей. Таким образом, число ситуаций удваивается.

Итого $3\cdot2=6$ способов разделить фишки на 2 группы.

2. Рассмотрим случай, когда получившихся групп три.

Аналогично, сначала распределим в них минимально необходимое число фишек, то есть 2+2+2=6 фишек. Осталось 9-6=3 фишки, которые как-либо нужно распределить по группам. Представить число 3 в виде суммы трех неотрицательных слагаемых можно 3 способами:

$3=3+0+0=2+1+0=1+1+1$

Таким образом, мы имеем 3 различные ситуации с точки зрения количественного состава групп.

Теперь рассмотрим эти группы с точки зрения положения красной фишки. Для первого случая есть 2 ситуации: красная фишка находится в большей группе или в одной из меньшей. Для второго случая есть 3 ситуации: красная фишка находится в большей, в средней или в меньшей группе. Для третьего случая есть 1 ситуация: красная фишка находится в одной из равновеликих групп.

Итого $2+3+1=6$ способов разделить фишки на 3 группы.

3. Рассмотрим случай, когда получившихся групп четыре.

Аналогично, сначала распределим в них минимально необходимое число фишек, то есть 2+2+2+2=8 фишек. Осталась 9-8=1 фишка, которую нужно поместить в какую-либо группу. Как бы мы это ни сделали, состав групп с точки зрения количества фишек всегда будет одним и тем же.

Однако, для положения красной фишки есть 2 ситуации: красная фишка находится в большей группе или в одной из меньших.

Итого 2 способа разделить фишки на 4 группы.

4. Предположим, что получившихся групп 5 или более. Тогда, по условию задачи в них должно быть хотя бы $5\cdot 2=10$ фишек, что противоречит другому условию - фишек всего 9.

Таким образом, всего разделить фишки существует:

$6+6+2=14$ способов

Ответ: 14 способов