Question

решите неравенство
(16^x - 4^x + 1)^2 + 9 * 4^x + 1 < 9 * 16 ^x +36

Answer 1

Ответ:

$x<\log_{4}{\dfrac{1+\sqrt{15+2\sqrt{185}}}{2}}$

Объяснение:

$(16^x-4^x+1)^2+9\cdot 4^x+1<9\cdot 16^x+36\\(16^x-4^x+1)^2-9\cdot 16^x+9\cdot 4^x-35<0\\(16^x-4^x+1)^2-9\cdot 16^x+9\cdot 4^x-9-26<0\\(16^x-4^x+1)^2-9(16^x-4^x+1)-26<0$

Пусть $16^x-4^x+1=t$

$t^2-9t-26<0$

Найдём нули левой части:

$D=9^2+4\cdot 26=185\\t=\dfrac{9\pm \sqrt{185}}{2}$

Решение неравенства:

$\dfrac{9-\sqrt{185}}{2}<t<\dfrac{9+\sqrt{185}}{2}\\\dfrac{9-\sqrt{185}}{2}<16^x-4^x+1<\dfrac{9+\sqrt{185}}{2}$

Пусть $4^x=z>0$

Заметим, что $z^2-z+1=(z-0{,}5)^2+0{,}75>0$ при любых z. Тогда достаточно решить неравенство

$z^2-z+1<\dfrac{9+\sqrt{185}}{2}\\z^2-z-\dfrac{7+\sqrt{185}}{2}<0$

Найдём нули левой части:

$D=1+2(7+\sqrt{185})=15+2\sqrt{185}\\z=\dfrac{1\pm\sqrt{15+2\sqrt{185}}}{2}$

Заметим, что меньший корень отрицателен, а z по замене всегда положительно. Значит, решение неравенства достаточно записать как

$z<\dfrac{1+\sqrt{15+2\sqrt{185}}}{2}\\4^x<\dfrac{1+\sqrt{15+2\sqrt{185}}}{2}\\x<\log_{4}{\dfrac{1+\sqrt{15+2\sqrt{185}}}{2}}$