Question

Уважаемые МОЗГи! Задание, достойное Вас!!
Найти общее решение уравнения методом неизвестных коэффициентов.
Если можно, с подробным (пошаговым) решением. Заранее спасибо))

Answer 1

1) y''-3y'

Решение уравнения будем искать в виде $y=e^{ux}$. Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

$r^2-3r=0\\r(r-3)=0\\r_1=3\\r_2=0$

Тогда систему составят функции:        

$y=e^{3x}\\y=e^{0x}$

Общее решение однородного уравнения: $y=C_1e^{3x}+C_2$, где C ∈ R

2) 2ch3x

Ищем частное решение

$y(x)=x^ke^{\alpha x}(R(x)cos(\beta x)+S(x)sin(\beta x))$

R(x) и S(x) это полиномы, их степень - макс. степень полиномов P(x) и Q(x)

У нас:                    

$P(x)=2*3x\\Q(x)=0\\\alpha =0\\\beta =0$

Поэтому k у нас равен 1 (т.к. 0i наш корень кратности)

И уравнение имеет частное решение

y=x(Ax+B)

Находим производные, которые нужно подставить в исходное ур.

$y'=2Ax+B\\y''=2A$

$y''-3y'=(2A)-3(2Ax+B)=2ch3x$

$-6Ax+2A-3B=2ch3x$

Отсюда получаем систему, приравняв коэф. при х:

$-6A=0\\2A-3B=1$

Решаем и находим корни: A=0, B=$-\frac{1}{3}$

Тогда частное решение примет вид: $y=-\frac{x}{3}$

И теперь общее решение уравнения примет вид:

$y=C_1e^{3x}+C_2-\frac{x}{3}$

Второе решается АНАЛОГИЧНО! Пояснять решения далее не буду, все расписал в 1 примере

1)y''-3y'

$r^2-4r=0\\r_1=4\\r_2=0$

$y_1=e^{4x}\\y_2=e^{0x}$

2) 16ch4x

k у нас равен 1

$y'=2Ax+B\\y''=2A$

$-8Ax+2A-4B=16ch4x$

Система;

$-8A=0\\2A-4B=1$

Корни:

$A=0\\B=-\frac{1}{4}$

Вид частного решения: $y=-\frac{x}{4}$

И теперь общее решение уравнения примет вид:

$y=C_1e^{4x}+C_2-\frac{x}{4}$