Question

Найти производную функции u=x+y+z в направлении биссектрисы первого квадранта

Answer 1

Ответ:

√3

Пошаговое объяснение:

У нас дана функция 3-х переменных, значит, говоря про производную по направлению, ее направляющий вектор должен иметь 3 координаты. А в трехмерном пространстве система координат делится на октанты, а не квадранты!

Биссектриса 1-го октанта имеет направляющий вектор: a⁻=(1,1,1)

А дальше пользуемся формулой:

$\frac{\partial u}{\partial \vec{a}}}=u'_x \cdot cos \alpha+u'_y \cdot cos \beta+u'_x \cdot cos \gamma$

где $(cos \alpha; \ cos \beta; \ cos \gamma)=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$

$u=x+y+z \\ u'_x=u'_y=u'_z=1 \\ \\ |\vec{a}|=\sqrt{1^2+1^2+1^2} =\sqrt{3} \\ \\ \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} =\left(\frac{1}{\sqrt{3} } ; \frac{1}{\sqrt{3} } ; \frac{1}{\sqrt{3} } \right)$

$\frac{\partial u}{\partial \vec{a}}}=1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3} } +1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3} } +1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3} } =\frac{3}{\sqrt{3} } =\sqrt{3}$