Question

Срочно нужна помощь, исследовать степенной ряд схождения!

Answer 1

Ответ:

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\Big(\dfrac{2n^2+2n+2}{3n^2+101}\Big)^{2n}$

Применим радикальный признак Коши.

$\lim\limits_{n \to \infty}\, \sqrt[n]{a_{n}}=\lim\limits_{n \to \infty}\, \sqrt[n]{\Big(\dfrac{2n^2+2n+2}{3n^2+101}\Big)^{2n}}=\lim\limits_{n \to \infty}\, \Big(\dfrac{2n^2+2n+2}{3n^2+101}\Big)^{2}=\\\\\\=\lim\limits_{n \to \infty}\, \left(\dfrac{2+\dfrac{2}{n}+\dfrac{2}{n^2}}{3+\dfrac{101}{n^2}}\right)^2=\lim\limits_{n \to \infty}\, \Big(\dfrac{2+0+0}{3+0}\Big)^2=\dfrac{2^2}{3^2}=\dfrac{4}{9}<1\ \ \ \Rightarrow$

Ряд сходится, так как получили число, меньшее 1 .