Question

При яких значеннях параметра а множина розв'язків нерівності x-1<2а містить всі розв'язки подвійної нерівності 3 <|x+5|<4?

Answer 1

Відповідь:

a ≥ -1

Пояснення:

Спочатку розв'яжемо подвійну нерівність. Розглянемо два можливих випадки під час розкриття модуля.

Перший: вираз під знаком модуля невід'ємний.

$\begin{cases} x+5\geq 0\\3<x+5<4 \; | \; -5 \end{cases}\\ \begin{cases} x\geq -5 \\ -2<x<-1 \end{cases}\\-2<x<-1$

Другий: вираз під знаком модуля від'ємний

$\begin{cases} x+5<0 \\ 3<-(x+5)<4 \; |\; *(-1) \end{cases}\\ \begin{cases} x<-5 \\ -4<x+5<-3 \; | \; -5 \end{cases}\\ \begin{cases} x<-5 \\ -9<x<-8 \end{cases}\\-9<x<-8$

Отже, множина розв'язків цієї нерівності

$(-9;-8)\cup (-2; -1)$

Виразимо x із нерівності з параметром:

$x-1<2a\\x<2a+1$

Видно, що всі розв'язки подвійної нерівності менші за -1. Тобто якщо вираз (2a+1) буде не меншим за -1, то він буде більшим і за кожний розв'язок подвійної нерівності. Інакше кажучи, підставивши замість x розв'язок нерівності 3<|x+5|<4 у нерівність x<2a+1, де 2a+1 ≥ -1 (конкретне значення), отримаємо правильне твердження. А це задовольнить умову задачі.

$x<-1\leq 2a+1\\-1\leq 2a+1\\-1-1\leq 2a\\2a\geq -2\\a\geq -1$