Question

Решить дифференциальное уравнение:

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

решение будем искать как сумму общего и частного решения

$y(x)=y_c(x)+y_p(x)$

1 общее решение

y'' +5y' = 0

делаем замену

$\displaystyle y=e^{\lambda x}$

тогда

$\displaystyle y'=(e^{\lambda x})'=\lambda e^{\lambda x}\qquad y''=(\lambda e^{\lambda x})'=\lambda^2e^{\lambda x}$

$\displaystyle \lambda^2 e^{\lambda x}+5\lambda e^{\lambda x}=0\qquad e^{\lambda x}(\lambda^2+5\lambda)=0$

поскольку $\displaystyle e^{\lambda x}\neq 0\quad for \quad \forall \lambda$, то получим

$\displaystyle \lambda^2+5\lambda =0 \quad \Rightarrow \lambda_1=0\quad \lambda_2=-5$

$\lambda_1=0$  дает нам решение $\displaystyle y_1=C_1e^{0*x}=C_1$

$\lambda_2=-5$  дает решение $\displaystyle y_2=C_2e^{-5x}$

и тогда общее решение будет

$\displaystyle y_c(x)= C_1+C_2e^{-5x}$

2 теперь переходим к частному решению

его ищем в виде   $\displaystyle y_p(x)=a_1e^{-2x}$

$\displaystyle y_p'=(a_1e^{-2x})'=-2a_1e^{-2x}\qquad y_p''=(-2a_1e^{-2x})'=4a_1e^{-2x}$

$\displaystyle 4a_1e^{-2x}-10e^{-2x}=e^{-2x}\quad \Rightarrow \quad a_1=-\frac{1}{6}\\\\y_p(x)=-\frac{1}{6} e^{-2x}$

и вот теперь мы получим полный ответ

$\displaystyle y(x) = -\frac{1}{6} e^{-2x}+C_2e^{-5x}+C_1$