Question

Решить уравнение $(2-x)\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}=\sqrt{x}+\sqrt{3x-4}$

Answer 1

По определению сумма $\sqrt{x} + \sqrt{3x - 4}$ неотрицательна ⇒ 2 - х ≥ 0, откуда х ≤ 2. С другой стороны из одновременности ${ \frac{x+2}{x-1} } \geq 0$ и 3х - 4 ≥ 0 следует, что х ≥ $\frac{4}{3}$. Проверим не является ли х = 2 корнем исходного уравнения:

(2 – 2)·√4 = √2 + √2 ⇒ 0 = 2√2 (неверно) ⇒ х = 2 не является корнем ⇒ без потери корней обе части уравнения можно поделить на (2 - х), заметив, что $(\sqrt{x} + \sqrt{3x-4})(\sqrt{x} - \sqrt{3x-4} )$ = x - (3x - 4) = 4 - 2x = 2·(2-x) ⇒

$(2-x)\sqrt{\frac{x+2}{x-1} } =\frac{2(2-x)}{ \sqrt{x} - \sqrt{3x-4} }$  ⇒ $\sqrt{x} - \sqrt{3x - 4} = 2\sqrt{\frac{x-1}{x+2} }$ (обе части возводим

в квадрат) ⇒ $x + 3x - 4 - 2\sqrt{x(3x-4)} = 4\frac{x-1}{x+2}$ ⇒$\sqrt{x(3x-4)} = 2(x-1) - 2\frac{x-1}{x+2}$ ⇒ $\sqrt{x(3x-4)} = 2\frac{(x-1)(x+1)}{x+2}$ ⇒ $4(x^{2} -1)^{2} = (3x^{2} - 4x)(x + 2)^{2}$ ⇒ $4x^{4} - 8x^{2} + 4 = (3x^{2} - 4x)(x^{2} + 4x + 4)$ $= 3x^{4} + 12x^{3} +12x^{2} - 4x^{3} -16x^{2} - 16x$ ⇔ х⁴ - 8х³ - 4х² + 16х + 4 = 0 ⇒ (х² - 2)(х² - 8х - 2) = 0, откуда х² - 2 = 0,

чьи корни: х₁₂ = ± √2 или х² - 8х - 2 = 0, чьи корни: х₃₄ = 4 ± 3√2.

Поскольку $\frac{4}{3} \leq x \leq 2$, то х = √2 – единственный вещественный корень первоначального уравнения (√2 > 4/3, так как 2 > 16/9; 4 - 3√2 < 0,

так как 4² < (3√2)² = 18). Ответ: х = √2

Проверка: (2 - √2)·$\sqrt{\frac{\sqrt{2} +2}{\sqrt{2} -1} }$ = $\sqrt{\sqrt{2} } + \sqrt{3\sqrt{2} - 4}$

Левая часть: (2 - √2)$\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + 2)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} }$ = (2 - √2)$\sqrt{4 + 3\sqrt{2 }$

Правая:  

${(\sqrt{\sqrt{2} } + \sqrt{3\sqrt{2} - 4})(\sqrt{\sqrt{2} } - \sqrt{3\sqrt{2} - 4}) : ({\sqrt{\sqrt{2} } - \sqrt{3\sqrt{2} - 4})$  =

(√2 - 3√2 + 4) : $(\sqrt{\sqrt{2} } - \sqrt{3\sqrt{2} -4} )$ = 2(2 - √2) : (the same square roots) ⇒

$\sqrt{4+3\sqrt{2} }$ должно равняться 2/($\sqrt{\sqrt{2} } - \sqrt{3\sqrt{2} - 4}$). Обе части возводим в квадрат ⇒ 4 + 3√2 versus 4/(4√2 - 4 - 2$\sqrt{6 - 4\sqrt{2} }$), $\sqrt{6 - 4\sqrt{2} } = \sqrt{{(2 - \sqrt{2}}) ^{2} }$ ⇒ 4 + 3√2 versus 4/(4√2 - 4 - 2(2 - √2)) ⇒  4 + 3√2 versus 4/(6√2 - 8) ⇒

4 + 3√2 versus 2/(3√2 - 4) ⇒ (3√2 - 4)(4 + 3√2) versus 2 ⇒ 18 - 16 versus 2 ⇒ 2 ≡ 2 ⇒ x = √2 - верный корень