Question

Докажите, что $\sqrt{\frac{101}{303} } \ \textless \ \frac{102}{103} * \frac{104}{105} * ... * \frac{302}{303} \ \textless \ \sqrt{\frac{102}{304} }$

Answer 1

Рассмотрим произведение:

$P = \frac{102}{103} * \frac{104}{105} *...*\frac{302}{303}$

Возведем в квадрат обе части равенства:

$P^2 = (\frac{102}{103})^2 *( \frac{104}{105})^2 *...*(\frac{302}{303})^2$

Очевидно, что для любого натурального $n$ справедливо неравенство:

$1 - \frac{1}{n} < 1 - \frac{1}{n+1} \\\frac{n-1}{n} < \frac{n}{n+1}$

Откуда в свою очередь справедливо двойное неравенство:

$\frac{n-2}{n-1} * \frac{n-1}{n} <(\frac{n-1}{n} )^2 < \frac{n-1}{n} * \frac{n}{n+1}$

Тогда пользуясь этим неравенством получаем:

$(\frac{101}{102} * \frac{102}{103}) *(\frac{103}{104} *\frac{104}{105} )*...*(\frac{301}{302} * \frac{302}{303} ) < P^2 < (\frac{102}{103} * \frac{103}{104}) *(\frac{104}{105} *\frac{105}{106} )*...*(\frac{302}{303} * \frac{303}{304} )$

После сокращения дробей получаем:

$\frac{101}{303} < P^2 < \frac{102}{304} \\\sqrt{\frac{101}{303} } < P < \sqrt{\frac{102}{304} }$

Что и требовалось доказать.