Question

30 БАЛОВ !!!!!
Вокруг прямоугольного треугольника с катетами AC=6 и BC=8 описана окружность. Точка E Середина малой дуги AC, точка F середина малой дуги CB, и G середина дуги AB, которая не включает C. Найти площадь треугольника EGF.

Answer 1

Пусть ∠ABC = α; ∠BAC = β; ∠ACB = γ = π/2;

Тогда углы треугольника EGF в общем случае

∠EGF = α/2 + β/2; ∠FEG = γ/2 + β/2; ∠EFG = γ/2 + α/2;

У треугольников ABC  и EFG общая описанная окружность диаметром 2R = 10; можно выразить стороны EFG через 2R и углы по теореме синусов и подставить в известную формулу площади (вида absin(φ)/2)

S = EG*FG*sin(∠EGF)/2 = (2Rsin(∠EFG))*(2Rsin(∠FEG))*sin(∠EGF)/2;

S = 2R^2*sin(α/2 + β/2)*sin(α/2 + γ/2)*sin(γ/2 + β/2); это общая формула.

Теперь с учетом того, что γ = π/2; β = π/2 - α; а также sin(α) = 3/5; cos(α)=4/5; 2R = 10; легко получить

S = 2R^2*sin(π/4)*sin(π/2 - α/2)*sin(π/4 + α/2) = 2R^2*(√2/2)^2*(sin(α) + cos(α) + 1) = 30;