Question

Решите уравнение $5x-|bx+ 3| = 0$ при всех значениях параметра b

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$5x-|bx+3|=0$

Самый верный способ решить любой параметр - это постараться построить его в координатах (b; x).

Попробуем применить этот прием здесь.

Сначала заметим, что при $x=0$ равенство неверно при любом значении параметра. Тогда на протяжении решения при необходимости будем спокойно делить на $x$.

Раскроем $|bx+3|$:

$bx+3=0,\;<=>\;b=-\dfrac{3}{x}$

Видим гиперболу в координатах (b; x).

Построим ее и просчитаем знаки в областях, которые она образует, подставляя координаты соответствующих точек в $bx+3$.

Тогда при $bx+3\ge0$:

$5x-bx-3=0\\b=-\dfrac{3}{x}+5$

Строим фрагмент этого графика в определенных выше областях.

При $bx+3<0$:

$5x+bx+3=0\\b=-\dfrac{3}{x}-5$

Тоже строим фрагмент этого графика в определенных выше областях.

Получим график уравнения:

(см. прикрепленный файл)

Итого:

• При $b\ge5$ уравнение не имеет корней.
• При $-5\le b<5$ уравнение имеет единственный корень.
• При $b<-5$ уравнение имеет ровно два различных корня.

Задание выполнено!

Answer 2

|bx + 3| = 5x

При x ≥ 0 возводим обе части уравнения в квадрат.

|bx + 3|² = (5x)²   ⇔   (bx + 3)² = (5x)²   ⇒  (bx + 3)² - (5x)² = 0

(bx + 3 - 5x)(bx + 3 + 5x) = 0

bx + 3 - 5x = 0   ⇒  x(b - 5) = -3

Если b = 5, то уравнение, то 0x = -3, уравнение решений не имеет, если b ≠ 5 и то уравнение имеет корень x = 3/(5-b) и причём имеет корень, когда 3/(5-b) ≥ 0 откуда b<5, а при b > 5 не имеет корень

bx + 3 + 5x = 0   ⇒  x(b + 5) = -3

Если b = -5, то -10x = -3 ⇒ x=3/10. Если b ≠ -5, то уравнение имеет корень x = -3/(b+5), причём имеет корень, когда -3/(b+5)≥0, то есть, при b<-5, а при b > -5 корень не имеет.

Ответ:

• при b ≥ 5 уравнение корней не имеет
• при -5 ≤ b < 5 уравнение имеет один корень
• при b < -5 уравнение имеет два различных корня.