Question

Существует ли иррациональные числа а и b, что $a^{b}$ - рациональное число?

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Існують ірраціональні числа  a  i  b ,  що   a^b  - раціональне число:

наприклад ,  a = √2  i   b = log(√2)5 - ірраціональні числа .

Дійсно ,      a^b = ( √2 )^( log(√2)5 ) = 5 ЄQ .

*  Вираз      log(√2)5 - це логарифм 5 при основі √2 .

Answer 2

Предположим, что $\sqrt{2} ^{\sqrt{2} }$ - иррационально, тогда если:

$a = \sqrt{2} ^{\sqrt{2} }\\b = \sqrt{2}$

То:

$a^b = (\sqrt{2} ^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = \sqrt{2} ^{\sqrt{2} * \sqrt{2} } = \sqrt{2} ^ 2 = 2$ - рациональное число.

Если же $\sqrt{2} ^{\sqrt{2} }$ - рационально, тогда имеем:

$a=b=\sqrt{2} \\a^b = R$

То есть рационально.

Таким образом, хоть мы и не доказали, что $\sqrt{2} ^{\sqrt{2} }$ иррационально, но мы доказали, что такие $a$ и $b$ существуют.