Question

Докажите, что композиция двух возрастающих функций - функция возрастающая.​

Answer 1

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ возрастающие на некотором промежутке.

Выберем две точки $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, такие что:

$x_2>x_1$

Рассмотрим некоторую композицию этих функций, например, функцию:

$h(x)=g(f(x))$

Найдем значения этой функции в выбранных точках:

$h(x_2)=g(f(x_2))$

$h(x_1)=g(f(x_1))$

Рассмотрим значения функции $f(x_2)$ и $f(x_1)$. Так как $x_2>x_1$, а функция $f$ - возрастающая, то $f(x_2)>f(x_1)$.

Рассмотрим значения функции $g(f(x_2))$ и $g(f(x_1))$. Так как $f(x_2)>f(x_1)$, а функция $g$ - возрастающая, то $g(f(x_2))>g(f(x_1))$. Следовательно:

$h(x_2)>h(x_1)$

Таким образом, большему значению аргумента соответствует большее значение функции-композиции. Значит, эта функция возрастающая. Доказано.