Question

Есть последовательность чисел. Первые 76 заданы, а дальше повторяются эти же, по порядку.
Нужно доказать, что минимальный период этой последовательности является делителем 76...

Answer 1

Будем нумеровать члены последовательности с нуля.

Пусть наименьший период равен k и он не делится на 76. Разделим 76 на k с остатком:

$ak+b=76,\;a,b\in\mathbb N,\; b<k$

Возьмем произвольный натуральный x и разделим его с остатком на b:

$pb+q=x,\;p,q\in\mathbb N\cup\{0\},\; q<b$

Тогда член с номером x окажется равен члену с номером q:

$pb+q=p(76-ak)+q=p\cdot76-ap\cdot k+q$

(первые два слагаемых представляют целое число периодов — 76 и k).

Но тогда b — период последовательности, причём b < k, то есть k — не наименьший из всех возможных периодов. Противоречие.