Question

докажите что для любых неотрицательных чисел a и b имеет место неравенство 4(a^3+b^3) больше (a+b)$^{3}$
С решением пожалуйста (я хочу понять как решать)

Answer 1

Поскольку числа a и b неотрицательны, то запишем неравенство о средних:

(a+b)/2 >= √ab

(a+b)^2 >= 4ab

-3ab>= -3(a+b)^2/4

Откуда:

a^2 - ab + b^2  = (a+b)^2 - 3ab >= (a+b)^2 - 3(a+b)^2/4 = (a+b)^2/4

a^2 - ab + b^2 >= (a+b)^2/4

Пусть a+b≠0, то есть числа a и b не могут быть одновременно равны 0.

Поскольку a и b неотрицательны, то можно умножить обе части последнего неравенства на 4(a+b)

4(a+b)(a^2 - ab + b^2 )>= (a+b)^3

4(a^3 + b^3) >= (a+b)^3

Проверим отдельно случай, когда a=b=0.

В этом случае возникает равенство:

0 = 0

Что и требовалось доказать.