Question

Докажите задачу используя мат.индукцию

Answer 1

Что мы будем использовать: последовательность $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$монотонно возрастает и имеет конечный предел; этот предел обозначается буквой  e. Первые цифры числа e все знают. Для нас достаточно знать, что

$2\le(1+\frac{1}{n})^n<e.$

1) $\left(\dfrac{n}{e}\right)^n<n!.$ При n=1 неравенство очевидно. Предположим, что оно справедливо при некотором  n, и докажем, что тогда оно справедливо при n+1. Итак, нужно доказать, что $\left(\dfrac{n+1}{e}\right)^{n+1}<(n+1)!.$ Имеем:

$(\frac{n+1}{e})^{n+1}=(\frac{n}{e})^n\cdot (\frac{n+1}{n})^n\cdot\frac{n+1}{e}<n!\cdot(1+\frac{1}{n})^n\cdot\frac{n+1}{e}<\frac{(n+1)!}{e}\cdot e=(n+1)!$

2) $n!<e\left(\dfrac{n}{2}\right)^n.$  При n=1 неравенство очевидно. Предположив, что при некотором n неравенство справедливо, докажем, что $(n+1)!<e(\frac{n+1}{2})^{n+1}.$

Имеем:

$(n+1)!=n!\cdot (n+1)<e(\frac{n}{2})^n\cdot (n+1)=\frac{e}{2^n}\cdot(\frac{n}{n+1})^n\cdot (n+1)^{n+1}=$

$e\frac{(n+1)^{n+1}}{2^n}\cdot \dfrac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}\le e\frac{(n+1)^{n+1}}{2^n}\cdot \frac{1}{2}=e(\frac{n+1}{2})^{n+1}.$

Доказательство завершено благодаря тому, что все натуральные числа расположены "по порядку" одно за другим, и есть первое натуральное число (принцип домино: если доминошки расположить на боку одну рядом с другой на небольшом расстоянии друг от друга в виде змеи, и уронить первую доминошку на вторую, то вторая упадет на третью, третья на четвертую и так далее, пока не упадут все).