Question

64 БАЛА ПОЖАЛУЙСТА!!!!!! ОЧЕНЬ СРОЧНО Докажи, что четырёхугольник является прямоугольником, найди его площадь, если (14;2), (16;3), (12;11) и (10;10).

=.

Answer 1

Ответ: 20

Объяснение:

Если в четырёхугольнике три угла прямые, то он является прямоугольником.

Найдём 3 угла четырёхугольника, опираясь на следующее утверждение:

Если скалярное произведение векторов равно 0, то векторы перпендикулярны.

1. Пусть A (14;2), B (16;3), C (12;11) и D (10;10).

Найдём координаты векторов:

$\overrightarrow{AB}=(16-14;\;3-2)=(2;\;1)\\ \\ \overrightarrow{BC}=(12-16;\;11-3)=(-4;\;8)\\ \\ \overrightarrow{CD}=(10-12;\;10-11)=(-2;\;-1)\\ \\ \overrightarrow{AD}=(14-10;\;2-10)=(4;\;-8)$

Найдём скалярные произведения векторов:

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=2\cdot(-4)+1\cdot8=-8+8=0\quad\Rightarrow\quad AB\perp BC\\\\\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CD}=-4\cdot(-2)+8\cdot(-1)=8-8=0\quad\Rightarrow\quad BC\perp CD\\\\\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AD}=(-2)\cdot4+(-1)\cdot(-8)=-8+8=0\quad\Rightarrow\quad CD\perp AD$

Из перпендикулярности сторон следует, что ∠B, ∠C, ∠D прямые ⇒ ABCD -- прямоугольник.

2. Найдём длины сторон AB и BC и площадь ABCD:

$AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\\ \\ BC=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-4)^2+8^2}=\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot5}=4\sqrt{5} \\ \\ S_{ABCD}=AB\cdot BC=\sqrt{5}\cdot 4\sqrt{5}=5\cdot 4=20$