Question

Найдите все корни уравнения √sin(1-x)=√cosx, лежащие на отрезке [-п/2; п/2]​

Answer 1

$\sqrt{\sin(1-x)} =\sqrt{\cos x}$

Найдем область допустимых значений. Под знаком квадратного корня может находиться только неотрицательное выражение. Поэтому возникает система:

$\begin{cases} \sin(1-x)\geqslant 0 \\ \cos x\geqslant 0 \end{cases}$

Ниже будет показан принцип нахождения ОДЗ, однако ОДЗ отдельно можно и не находить.

Рассмотрим первое неравенство:

$\sin(1-x)\geqslant 0$

Синус положителен в 1 и 2 четверти. Поэтому запишем:

$2\pi n\leqslant1-x\leqslant \pi +2\pi n$

$-1+2\pi n\leqslant-x\leqslant -1+\pi +2\pi n$

$1-\pi+2\pi n\leqslant x\leqslant 1+2\pi n$

Рассмотрим второе неравенство:

$\cos x\geqslant 0$

Косинус положителен в 1 и 4 четверти. Поэтому запишем:

$-\dfrac{\pi }{2}+ 2\pi n\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi }{2}+2\pi n$

Зная решение каждого неравенства, найдем ОДЗ:

$-\dfrac{\pi }{2}+ 2\pi n\leqslant x\leqslant1+2\pi n$

Возвращаемся к исходному уравнению:

$\sqrt{\sin(1-x)} =\sqrt{\cos x}$

Возведем в квадрат обе части уравнения и найдем его решения. Далее необходимо будет проверить, являются ли при найденных решениях левая и правая часть полученного уравнения неотрицательными выражениями. Это будет соответствовать проверке ОДЗ.

Итак, возводим в квадрат:

$(\sqrt{\sin(1-x)} )^2=(\sqrt{\cos x})^2$

$\sin(1-x) =\cos x$

Воспользуемся формулой приведения:

$\cos\left(\dfrac{\pi}{2} -1+x\right) =\cos x$

Косинусы равны когда их аргументы равны или противоположны с учетом основного периода $2\pi$.

Первый случай:

$\dfrac{\pi}{2} -1+x =x+2\pi n$

$\dfrac{\pi}{2} -1 =2\pi n$

$\pi -2 =4\pi n$

Решений в данном случае нет.

Второй случай:

$\dfrac{\pi}{2} -1+x =-x+2\pi n$

$2x =1-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$

$x =\dfrac{1}{2} -\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Для удобства оценки распишем полученную серию решений на две:

$x_1=\dfrac{1}{2} -\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$

$x_2=\dfrac{1}{2} -\dfrac{\pi}{4}+\pi +2\pi n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$

Найдем косинус каждой серии решений, точнее знак этого косинуса. Так как в правой части уравнения после возведения его в квадрат стоял косинус, то это позволить определить и избавиться от посторонних корней.

$\cos x_1=\cos\left(\dfrac{1}{2} -\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\right)=\cos\left(\dfrac{1}{2} -\dfrac{\pi}{4}\right)$

Оценим аргумент косинуса следующим образом:

$3<\pi <4$

$\dfrac{3}{4} <\dfrac{\pi}{4} <1$

$-1<-\dfrac{\pi}{4} <-\dfrac{3}{4}$

$-\dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{2}-\dfrac{\pi}{4} <-\dfrac{1}{4}$

Значит, аргумент косинуса лежит в 4 четверти. Тогда, сам косинус принимает положительное значение. Следовательно, первая серия корней удовлетворяет исходному уравнению.

$\cos x_2=\cos\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n\right)=\cos\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{3\pi}{4}\right)$

Оценим аргумент косинуса:

$3<\pi <4$

$2\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4} <\dfrac{3\pi}{4} <3$

$2\dfrac{3}{4} <\dfrac{1}{2}+\dfrac{3\pi}{4} <3\dfrac{1}{2}$

Оценка показывает, что аргумент косинуса лежит во 2 или 3 четверти. Тогда, косинус принимает отрицательное значение. Следовательно, вторая серия корней содержит посторонние корни.

Итак, общее решение исходного уравнения:

$x=\dfrac{1}{2} -\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Найдем корни уравнения на отрезке $\left[-\dfrac{\pi}{2} ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$:

$-\dfrac{\pi}{2}\leqslant \dfrac{1}{2} -\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\leqslant\dfrac{\pi}{2}$

$-\dfrac{\pi}{4}\leqslant \dfrac{1}{2} +2\pi n\leqslant\dfrac{3\pi}{4}$

$-\dfrac{1}{2} -\dfrac{\pi}{4}\leqslant 2\pi n\leqslant-\dfrac{1}{2} +\dfrac{3\pi}{4}$

$-\dfrac{1}{4\pi} -\dfrac{1}{8}\leqslant n\leqslant-\dfrac{1}{4\pi} +\dfrac{3}{8}$

$-\left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4\pi} \right)\leqslant n\leqslant\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{4\pi}$

Преобразуем следующие выражения:

$\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4\pi}=\dfrac{\pi }{8\pi }+\dfrac{2}{8\pi}=\dfrac{\pi+2}{8\pi}$

$\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{4\pi}=\dfrac{3\pi }{8\pi }-\dfrac{2}{8\pi}=\dfrac{3\pi-2}{8\pi}$

Теперь хорошо видно, что левая и правая часть неравенства по модулю меньше 1 (левая часть отрицательна, правая соответственно положительна).

Это говорит о том, что:

$-1< n<1$

Значит: $n=0$.

При $n=0$: $x=\dfrac{1}{2} -\dfrac{\pi}{4}+2\pi \cdot 0=\dfrac{1}{2} -\dfrac{\pi}{4}$

Ответ: $\dfrac{1}{2} -\dfrac{\pi}{4}$