Ответы
Найдем область допустимых значений. Под знаком квадратного корня может находиться только неотрицательное выражение. Поэтому возникает система:
Ниже будет показан принцип нахождения ОДЗ, однако ОДЗ отдельно можно и не находить.
Рассмотрим первое неравенство:
Синус положителен в 1 и 2 четверти. Поэтому запишем:
Рассмотрим второе неравенство:
Косинус положителен в 1 и 4 четверти. Поэтому запишем:
Зная решение каждого неравенства, найдем ОДЗ:
Возвращаемся к исходному уравнению:
Возведем в квадрат обе части уравнения и найдем его решения. Далее необходимо будет проверить, являются ли при найденных решениях левая и правая часть полученного уравнения неотрицательными выражениями. Это будет соответствовать проверке ОДЗ.
Итак, возводим в квадрат:
Воспользуемся формулой приведения:
Косинусы равны когда их аргументы равны или противоположны с учетом основного периода .
Первый случай:
Решений в данном случае нет.
Второй случай:
Для удобства оценки распишем полученную серию решений на две:
Найдем косинус каждой серии решений, точнее знак этого косинуса. Так как в правой части уравнения после возведения его в квадрат стоял косинус, то это позволить определить и избавиться от посторонних корней.
Оценим аргумент косинуса следующим образом:
Значит, аргумент косинуса лежит в 4 четверти. Тогда, сам косинус принимает положительное значение. Следовательно, первая серия корней удовлетворяет исходному уравнению.
Оценим аргумент косинуса:
Оценка показывает, что аргумент косинуса лежит во 2 или 3 четверти. Тогда, косинус принимает отрицательное значение. Следовательно, вторая серия корней содержит посторонние корни.
Итак, общее решение исходного уравнения:
Найдем корни уравнения на отрезке :
Преобразуем следующие выражения:
Теперь хорошо видно, что левая и правая часть неравенства по модулю меньше 1 (левая часть отрицательна, правая соответственно положительна).
Это говорит о том, что:
Значит: .
При :
Ответ: