Question

Помогите пожалуйста решить правильно. А то в мои 54 года уже голова не работает. Извините...
Исследовать функцию и построить график y=x^2-4/x

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle y=\frac{x^2-4}{x}$

1. ОДЗ: х≠0   или   х∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞)

2. Четность, нечетность:

$\displaystyle y(-x)=\frac{(-x)^2-4}{-x} =-\frac{x^2-4}{x} \\\\ y(-x)=-y(x)$

⇒ функция нечетная.

3. Нули функции:

$\displaystyle y=0\\x^2-4=0\\(x-2)(x+2)=0\\x_1=2;\;\;\;x_2=-2$

4. Асимптоты.

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2-4}{x}= \infty$

⇒ x = 0 - вертикальная асимптота.

Наклонная : y = kx + b

$\displaystyle k= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-4}{x*x}= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2}{x^2}-\frac{4}{x^2} }{\frac{x^2}{x^2} } =1$

$\displaystyle b= \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2-4}{x}-x)= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-4-x^2}{x}=0$

⇒ y=x - наклонная асимптота.

5. Возрастание, убывание:

Найдем производную, приравняем к 0. Найдем корни, отметим на числовой оси, определим знак производной на промежутках.

Если "+", функция возрастает, "-" - убывает.

$\displaystyle y'=\frac{2x*x-(x^2-4)*1}{x^2}= \frac{x^2+4}{x^2}$

y' > 0;    x ≠ 0

См. рис.

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем вторую производную, приравняем к 0. Найдем корни, отметим на числовой оси, определим знак второй производной на промежутках.

Если "+", функция вогнутая, "-" - выпуклая.

$\displaystyle y''=\frac{2x*x^2-(x^2+4)*2x}{x^4}=\frac{2x^3-2x^3-8x}{x^4}=-\frac{8}{x^3}$

x ≠ 0

при x<0 - вогнута; при x>0 - выпукла.

Cм. рис.

Строим график.