Question

ДАЮ 100 баллов! Известно, что в понедельник настя добиралась на автомобиле на работу более одного часа. Также известно, что в течение любого часа движения средняя скорость ее автомобиля равнялась 80 км/ч. Могла ли его средняя скорость на протяжении всего пути равняться 100км/ч? Ответ обоснуйте.

ЗНАНИЕ КОМ, НЕ ДАЙ БОГ ТЫ ЕЩЕ РАЗ УДАЛИШ ЕТОТ ВОПРОС, ПО ПРИЧИНЕ - ЧТО В НЕМ НЕ ХВАТАЕТ ДЕТАЛЕЙ!!! ЕТУ ЗАДАЧУ ПРИДУМАЛ НЕ Я, ОНА ЕСТЬ В РАЙОННОЙ ОЛИМПИАДЕ!!!

Answer 1

Не знаю, знаком ли автор задания с определенным интегралом, но поскольку в условии явно не оговорены запрещенные методы, я в решении интегралы буду использовать.

Ответом в задаче будет МОГЛА. Поэтому мне достаточно привести пример. Вот он:

Пусть скорость автомобиля задается формулой

                                         $v(t)=A\sin (2\pi t)+80.$

Здесь t - это время, измеряемое в часах, A - некоторое число, которое мы подберем позже, расстояние измеряется в километрах. По условию средняя скорость за любой час равна 80. Убедимся, что это так. Для этого измерим пройденное (точнее, проеханное?))) расстояние за время с момента p до момента p+1.  Оно вычисляется по формуле

$S_1=\int_p^{p+1}v(t)\,dt=\left.\left(-\dfrac{A}{2\pi}\cos(2\pi t)+80t\right)\right|_p^{p+1}=80.$                  

Видим. что наше предположение относительно средней скорости оправдалось. Остается подобрать число A.  Для этого вычислим расстояние от дома до работы, считая, скажем, что автомобиль ехал полтора часа (мы вправе сами выбрать это время).

$S=\int_0^{1,5}(A\sin (2\pi t)+80)\, dt=\left(\left.-\dfrac{A}{2\pi}\cos(2\pi t)+80t\right)\right|_0^{1,5}=$

$=-\dfrac{A}{2\pi}\cos 3\pi+\dfrac{A}{2\pi}\cos 0+120=\dfrac{A}{\pi}+120.$

Мы хотим, чтобы средняя скорость равнялась 100 км/ч, а поскольку средняя скорость вычисляется по формуле весь путь поделить на все время, получаем уравнение для нахождения A:

$\dfrac{\frac{A}{\pi}+120}{1,5}=100;\ \dfrac{A}{\pi}+120=150;\ \dfrac{A}{\pi}=30;\ A=30\pi.$

Вывод: если автомобиль будет ехать полтора часа со скоростью

 $v(t)=30\pi\sin(2\pi t)+80,$

его средняя скорость на всем протяжении пути будет 100 км/ч, а средняя скорость в течение любого часа 80 км/ч.

Замечание. В нашем примере скорость иногда оказывается отрицательной, что надо интерпретировать как движение в обратную сторону.

Если отрицательной скорость быть не должна, можно задать другую формулу для скорости. Конечно, выбирать нужно из периодических с периодом 1 функций. Годится такая: первые полчаса машина ехала со скоростью 80+A, вторые полчаса со скоростью 80-A, третьи полчаса снова со скоростью 80+A. Число A нужно подобрать. Проехала машина $\dfrac{80+A}{2}+\dfrac{80-A}{2}+\dfrac{80+A}{2}=120+\dfrac{A}{2}$   километров, потратив на это 1,5 часа. Средняя скорость должна быть 100 км/ч. Поэтому

$\dfrac{120+A/2}{1,5}=100;\ 120+A/2=150;\ A=60.$

Получен такой пример: 30 минут машина ехала со скоростью 140 км/ч, следующие 30 минут со скоростью 20 км/ч, последние полчаса - снова со скоростью 140 км/ч.