Question

Заданы вершины треугольника ABC . Вычислите его площадь и косинус внутреннего угла B .
A(0;2;1), B(4;0;1), C(3;−4;2).

Answer 1

Для вычисления площади треугольника можно воспользоваться формулой Герона, для которой нужно знать длины сторон. Сперва найдём стороны:

$AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(B_x-A_x)^2 + (B_y-A_y)^2 + (B_z-A_z)^2} = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0-2)^2+(1-1)^2} = 2\sqrt2\\BC = |\vec{BC}| = \sqrt{(C_x-B_x)^2 + (C_y-B_y)^2 + (C_z-B_z)^2} = \sqrt{(3 - 4)^2 + (-4-0)^2+(2-1)^2} = 3\sqrt{2}\\AC = |\vec{AC}| = \sqrt{(C_x-A_x)^2 + (C_y-A_y)^2 + (C_z-A_z)^2} = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-4-2)^2+(2-1)^2} = \sqrt{46}\\p = \frac{AB+BC+AC}{2} = \frac{2\sqrt2+3\sqrt2+\sqrt{46}}{2}$$S_\Delta_{ABC} = \sqrt{p*(p-a)*(p-b)*(p-c)} = \\\sqrt{(\frac{2\sqrt2+3\sqrt2+\sqrt{46}}{2})(\frac{2\sqrt2+3\sqrt2+\sqrt{46}}{2} - 2\sqrt2)*(\frac{2\sqrt2+3\sqrt2+\sqrt{46}}{2} - 3\sqrt2)*(\frac{2\sqrt2+3\sqrt2+\sqrt{46}}{2} - \sqrt{46}))}\\= \sqrt{(\frac{\sqrt{50}+\sqrt{46}}{2})(\frac{\sqrt{50}-\sqrt{46}}{2})(\frac{\sqrt{46}+ \sqrt2}{2})(\frac{\sqrt{46}- \sqrt2}{2})} = \sqrt{11}$Косинус угла B можно как скалярное произведение векторов AB и BC, разделенное на произведение длин этих векторов:

$cos(B) = \frac{\vec{AB} * \vec{BC}}{|\vec{AB}| * |BC|} = \frac{4 * (-1) - 2 * (-4) + 0 * 1}{2\sqrt2 * 3\sqrt2} = \frac{1}{3}$