Question

Свести заданное уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, определить тип кривой и сделать рисунок

-x^2-4x+2y-10=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$-x^2-4x+2y-10=0$

это уравнение кривой второго порядка вида

$\displaystyle a_{11}x^2+2a_{12}xy++2a_{13}x+a_{22}y^2+2a_{23}y+a_{33}=0$

Квадратичная форма B = - x²

Приведем квадратичную форму к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы

$\displaystyle B=\bigg \left \bigg | {{-1\quad 0} \atop {0 \qquad 0} \right. \bigg |$

Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

(-1 - λ)x + 0*y = 0

0*x + (0 - λ)y = 0

Характеристическое уравнение

λ² + λ = 0

Корни уравнения

$\displaystyle D=1^2-4*1*0 = 1\\\\\lambda_1=\frac{-1+1}{2*1} =0 \qquad \qquad \lambda_2=\frac{-1-1}{2*1} =1$

Поскольку   $\lambda_1 =0$  мы имеем уравнение параболы.

Выделяем полный квадрат

-1(x²+2*2x + 2²) +1*2² = -1(x+2)²+4

Теперь преобразуем уравнение

(x+2)² = 2(y-3)

Мы получили канонической вид параболы вида (x-x₀)² = 2p(y-y₀)

$(x+2)^2 = 2*1(y - 3)$    это парабола ветвями вверх (p>0), по

                                      направлению оси OY,  с вершиной в точке (-2; 3)