Question

Даны координаты вершин пирамиды А(-5;-1;8) ; В(2;3;1) ; С (4;1;-2;) Д(6;3;7) Найти:
1) угол между ветрами АВ и АС
2) проекцию вектора АД на вектор АС
3) площадь грани АВС
4) объем и высоту пирамиды
5) составить уравнение АВС
6)выясните , образуют ли векторы АВ, АС, АД линейно независимую систему

Answer 1

Даны координаты вершин пирамиды

А(-5;-1;8) ; В(2;3;1) ; С (4;1;-2;) Д(6;3;7)  

Найти:

1) угол между ветрами АВ и АС

2) проекцию вектора АD на вектор АС

3) площадь грани АВС

4) объем и высоту пирамиды

5) составить уравнение АВС

1) Решение: находим векторы AB и AC.

AB = (2-(-5); 3-(-1); 1-8) = (7; 4; -7).

AC = (4-(-5); 1-(-1); -2-8) = (9; 2; -10).

Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 7 · 9 + 4 · 2 + (-7) · (-10) = 63 + 8 + 70 = 141.

Найдем длины векторов:

|AB| = √(ax² + ay² + az²) = √(7² + 4² + (-7)²) = √(49 + 16 + 49) = √114

|AC| = √(bx² + by² + bz²) = √(9² + 2² + (-10)²) = √(81 + 4 + 100) = √185

Найдем угол между векторами:

cos α =  a · b      

        |a||b|

cos α =        141       =  47√21090/7030  ≈ 0.97091.

     √114 · √185  

α = 13.85278°

2) Решение: находим вектор AD.

AD = (6-(-5); 3-(-1); 7-8) = (11; 4; -1).

Пр ba = a · b    

                 |b|

Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 11 · 9 + 4 · 2 + (-1) · (-10) = 99 + 8 + 10 = 117

Найдем модуль вектора:(9² + 2² + (-10)² = √81 + 4 + 100 = √185

Пр ba = 117  =  117√185/185  ≈  8,60201.

             √185

3) Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС.

Находим произведение АВхАС с применением схемы Саррюса.

I        j        k|        I         j

7      4       -7|       7        4

9      2     -10|       9        2  = -40i – 63j + 14k + 70j + 14i – 36k =

                                         = -26i + 7j -22k. Вектор равен ( -26; 7; -22)

Найдем модуль вектора:

|c| = √cx² + cy² + cz² = √(-26)² + 7² + (-22)² = √676 + 49 + 484 = √1209

Найдем площадь треугольника:

S = (1/2) √1209  =   √1209/2  ≈   17,38534.

4) Объём пирамиды равен 1/6 смешанного произведения векторов АВ, AC и AD.

Произведение АВхAC и вектор AD  найдены выше и равны:

ABxAD = (-26; 7; -22),

      AD = (11; 4; -1).        

              -286 + 28 + 22 = -236.

V = (1/6)*|-236| = 236/6 = (118/3) ≈ 39,333 куб. ед.

5) Так как нормальный вектор плоскости АВС уже найден и равен (-26; 7; -22), осталось подставить в уравнение плоскости координаты точки А(-5;-1;8).

(-26)*(x – (-5)) + 7*(y – (-1) + (-22)*(z – 8) = 0,

-26x + 7y – 22z + 53 = 0 или с положительным коэффициентом при переменной х:

26x - 7y + 22z - 53 = 0.