Question

Найти производную, помогите$\sqrt[x]{sinx}$

Answer 1

$y=\sqrt[x]{\sin x}$

$y=(\sin x)^\frac{1}{x}$

Для нахождения производной применим логарифмическое дифференцирование.

Сначала прологарифмируем обе части равенства:

$\ln y=\ln(\sin x)^\frac{1}{x}$

$\ln y=\dfrac{1}{x}\ln\sin x$

Теперь дифференцируем обе части равенства:

$(\ln y)'=\left(\dfrac{1}{x}\ln\sin x\right)'$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=\left(\dfrac{1}{x}\right)'\cdot\ln\sin x+\dfrac{1}{x}\cdot(\ln\sin x)'$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=-\dfrac{1}{x^2}\cdot\ln\sin x+\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{\sin x} \cdot(\sin x)'$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=-\dfrac{1}{x^2}\cdot\ln\sin x+\dfrac{1}{x\sin x} \cdot\cos x$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=\dfrac{\cos x}{x\sin x}-\dfrac{\ln\sin x}{x^2}$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=\dfrac{\mathrm{ctg}\,x}{x}-\dfrac{\ln\sin x}{x^2}$

$y'=y\cdot\left(\dfrac{\mathrm{ctg}\,x}{x}-\dfrac{\ln\sin x}{x^2}\right)$

$y'=\sqrt[x]{\sin x} \cdot\left(\dfrac{\mathrm{ctg}\,x}{x}-\dfrac{\ln\sin x}{x^2}\right)$