Question

Нужна помощь с матрицами.

Answer 1

Характеристический многочлен матрицы $A$ есть (не привожу его вычисление здесь, это весьма тривиально): $P(x) = -x^3+x^2+13x+26$. Теорема Гамильтона-Кэли говорит, что $P(A) = 0 \Leftrightarrow A^3-A^2-13A+26 = 0$. То есть $f(A) = A^2+13A+26-4A^2+2A-5 = -3A^2+15A+21 = -3(A-\alpha E)(A-\overline{\alpha}E)$, где $\alpha,\overline{\alpha}$ -- корни многочлена $-3x^2+15x+21$. Имеем: $\left(\begin{array}{ccc}4-\alpha&0&2\\5&-1-\alpha&1\\0&3&-2-\alpha\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}4-\overline{\alpha}&0&2\\5&-1-\overline{\alpha}&1\\0&3&-2-\overline{\alpha}\end{array}\right) =\\\left(\begin{array}{ccc}(4-\alpha)(4-\overline{\alpha})&6&4-2(\alpha+\overline{\alpha})\\15-5(\alpha+\overline{\alpha})&3+(1+\alpha)(1+\overline{\alpha})&7-(\alpha+\overline{\alpha})\\15&-3-3(\alpha+\overline{\alpha})&3+(2+\alpha)(2+\overline{\alpha})\end{array}\right)$. При этом $\alpha+\overline{\alpha} = 5,\;\alpha\overline{\alpha}=-7$, а потому $f(A) = -3\left(\begin{array}{ccc}-11&6&-6\\-10&2&2\\15&-18&10\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}33&-18&18\\30&-6&-6\\-45&54&-30\end{array}\right)$.