Question

(x²+3x-2)²+3(x²+3x-2)-2=x
помогите решить пожалуйста​

Answer 1

Ответ:

x₁ = - 1 - √3 ; x₂ = - 1 + √3 ; x₃ = - 2 - √2 ; x₄ = - 2 + √2

Объяснение:

(x² + 3x - 2)² + 3(x² + 3x - 2) - 2 = x

Пусть x² + 3x - 2 = t, тогда:

$\begin{cases}x^2+3x-2=t\\t^2+3t-2=x\end{cases}$

Вычтем по частям второе уравнение из первого:

x² - t² + 3(x - t) = t - x

Разложим на множители x² - t² по формуле a² - b² = (a - b)(a + b) и перенесём t - x в левую часть уравнения:

(x - t)(x + t) + 3(x - t) - (t - x) = 0

Так как t - x = - (x - t), то

(x - t)(x + t) + 3(x - t) + (x - t) = 0

(x - t)(x + t) + 4(x - t) = 0

Вынесем за скобки общий множитель x - t:

(x - t)(x + t + 4) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

x - t = 0 или x + t + 4 = 0

x = t              t = - x - 4

1) Из x = t следует, что x² + 3x - 2 = x ; x² + 3x - x - 2 = 0 ; x² + 2x - 2 = 0

D/4 = (b/2)² - ac = 1² + 2 = 3 ; x = - 1 ± √3.

2) Из t = - x - 4 следует, что x² + 3x - 2 = - x - 4 ; x² + 3x + x - 2 + 4 = 0; x² + 4x + 2 = 0

D/4 = (4/2)² - 2 = 4 - 2 = 2 ; x = - 4/2 ± √2 = - 2 ± √2.

Значит уравнение имеет 4 корня: x₁ = - 1 - √3 ; x₂ = - 1 + √3 ; x₃ = - 2 - √2 ; x₄ = - 2 + √2.

Answer 2

В этом примере можно использовать метод суперпозиции функций.

(x²+3x-2)²+3(x²+3x-2)-2=x; можно и покороче, путем замены. Я выбрал первый путь.

если обозначить f(x)=x²+3x+2, то f(f(x))=x

уравнения такого вида решаются по схеме: если найдем корень уравнения f(x)=х, то он будет и корнем исходного уравнения. Значит, приходится решать уравнение

x²+3x-2=х, это квадратное уравнение. x²+2x-2=0, х₁,₂=-1±√(1+2)=-1±√3- два корня найдены.

Перепишем теперь исходное уравнение как

х⁴+6х³+9х²+4-4*(х²+3х)+3*(x²+3x)-6-2-х=0 и упростим его, получим

х⁴+6х³+9х²+4-(х²+3х)-8-х=0

х⁴+6х³+8х²+4-4х-8=0

х⁴+6х³+8х²-4х-4=0 (*****)

и разделим многочлен х⁴+6х³+8х²-4х-4 на многочлен

(х-(-1+√3))(х-(-1-√3))=(х+1)+√3))((х+1)-√3))=(х²+2х+1-3)=х²+2х-2

получим ⊥ -для знака деления в столбик  использую)

(х⁴+6х³+8х²-4х-4 ) ⊥(х²+2х-2)  =  х²+4х+2

х⁴+2х³-2х²

_________

      4х³+10х²-4х

      4х³+8х²-8х

     _________

               2х²+4х-4

               2х²+4х-4

                ---------------

                      0

Значит, х⁴+6х³+8х²-4х-4=(х²+2х-2 )*( х²+4х+2) и уравнение (*****)

принимает вид (х²+2х-2 )*( х²+4х+2)=0, первая скобка уже дала два корня, приравняем  к нулю вторую скобку и найдем корни уравнения

х²+4х+2=0, х₃,₄=-2±√(4-2)=-2±√2

Ответ

х₁,₂=-1±√3

х₃,₄=-2±√2