(x²+3x-2)²+3(x²+3x-2)-2=x
помогите решить пожалуйста
Ответы
Ответ:
x₁ = - 1 - √3 ; x₂ = - 1 + √3 ; x₃ = - 2 - √2 ; x₄ = - 2 + √2
Объяснение:
(x² + 3x - 2)² + 3(x² + 3x - 2) - 2 = x
Пусть x² + 3x - 2 = t, тогда:
Вычтем по частям второе уравнение из первого:
x² - t² + 3(x - t) = t - x
Разложим на множители x² - t² по формуле a² - b² = (a - b)(a + b) и перенесём t - x в левую часть уравнения:
(x - t)(x + t) + 3(x - t) - (t - x) = 0
Так как t - x = - (x - t), то
(x - t)(x + t) + 3(x - t) + (x - t) = 0
(x - t)(x + t) + 4(x - t) = 0
Вынесем за скобки общий множитель x - t:
(x - t)(x + t + 4) = 0
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
x - t = 0 или x + t + 4 = 0
x = t t = - x - 4
1) Из x = t следует, что x² + 3x - 2 = x ; x² + 3x - x - 2 = 0 ; x² + 2x - 2 = 0
D/4 = (b/2)² - ac = 1² + 2 = 3 ; x = - 1 ± √3.
2) Из t = - x - 4 следует, что x² + 3x - 2 = - x - 4 ; x² + 3x + x - 2 + 4 = 0; x² + 4x + 2 = 0
D/4 = (4/2)² - 2 = 4 - 2 = 2 ; x = - 4/2 ± √2 = - 2 ± √2.
Значит уравнение имеет 4 корня: x₁ = - 1 - √3 ; x₂ = - 1 + √3 ; x₃ = - 2 - √2 ; x₄ = - 2 + √2.
В этом примере можно использовать метод суперпозиции функций.
(x²+3x-2)²+3(x²+3x-2)-2=x; можно и покороче, путем замены. Я выбрал первый путь.
если обозначить f(x)=x²+3x+2, то f(f(x))=x
уравнения такого вида решаются по схеме: если найдем корень уравнения f(x)=х, то он будет и корнем исходного уравнения. Значит, приходится решать уравнение
x²+3x-2=х, это квадратное уравнение. x²+2x-2=0, х₁,₂=-1±√(1+2)=-1±√3- два корня найдены.
Перепишем теперь исходное уравнение как
х⁴+6х³+9х²+4-4*(х²+3х)+3*(x²+3x)-6-2-х=0 и упростим его, получим
х⁴+6х³+9х²+4-(х²+3х)-8-х=0
х⁴+6х³+8х²+4-4х-8=0
х⁴+6х³+8х²-4х-4=0 (*****)
и разделим многочлен х⁴+6х³+8х²-4х-4 на многочлен
(х-(-1+√3))(х-(-1-√3))=(х+1)+√3))((х+1)-√3))=(х²+2х+1-3)=х²+2х-2
получим ⊥ -для знака деления в столбик использую)
(х⁴+6х³+8х²-4х-4 ) ⊥(х²+2х-2) = х²+4х+2
х⁴+2х³-2х²
_________
4х³+10х²-4х
4х³+8х²-8х
_________
2х²+4х-4
2х²+4х-4
---------------
0
Значит, х⁴+6х³+8х²-4х-4=(х²+2х-2 )*( х²+4х+2) и уравнение (*****)
принимает вид (х²+2х-2 )*( х²+4х+2)=0, первая скобка уже дала два корня, приравняем к нулю вторую скобку и найдем корни уравнения
х²+4х+2=0, х₃,₄=-2±√(4-2)=-2±√2
Ответ
х₁,₂=-1±√3
х₃,₄=-2±√2