Question

Решите уравнение
$\boldsymbol{x^3-3x^2-3x-1=0}$

Answer 1

Ответ:

(cм. объяснение)

Объяснение:

$x^3-3x^2-3x-1=0$

Введем замену вида $t=x-1,\;\Rightarrow\;x=t+1$.

Тогда исходное уравнение примет вид:

$(t+1)^3-3(t+1)^2-3(t+1)-1=0$

После очевидных упрощений получим:

$t^3-6t-6=0$

Введем замену:

$t=\sqrt[3]{y}+\dfrac{2}{\sqrt[3]{y}}$

Тогда:

$\left(\sqrt[3]{y}+\dfrac{2}{\sqrt[3]{y}}\right)^3-6\left(\sqrt[3]{y}+\dfrac{2}{\sqrt[3]{y}}\right)-6=0$

После очевидных упрощений получим:

$y^2-6y+8=0$

$\left[\begin{array}{c}y=2\\y=4\end{array}\right;$

Возвращаемся к предыдущей переменной:

$t=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}$

Тогда исходный корень уравнения будет:

$x=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1$

Уравнение решено!