Question

МАТАН
Исследовать ряд на сходимость

Answer 1

Ответ:

Расходится

Пошаговое объяснение:

Заметим, что все члены ряда положительны:

$a_n=\ln\dfrac{n^2+4}{n^2-n+2}=\ln \left(1+\dfrac{n+2}{n^2-n+2}\right)=\\ =\ln \left(1+\underbrace{\dfrac{n+2}{(n-\frac{1}{2})^2+1\frac{3}{4}}}_{>0}\right)>\ln 1=0$

При $n\to\infty$ верная следующая цепочка эквивалентностей:

$a_n=\ln \left(1+\underbrace{\dfrac{n+2}{n^2-n+2}}_{\to 0}\right)\sim \dfrac{n+2}{n^2-n+2}\sim \dfrac{n}{n^2}=\dfrac{1}{n}$

То есть сходимость исходного ряда эквивалентна сходимости ряда $\sum\limits_{n}\dfrac{1}{n}$ - расходящегося гармонического ряда. Значит, согласно предельному признаку сравнения, исходный ряд расходится.