Question

Здравствуйте помогите с решением задачи, подробнее пожалуйста ,4.26​

Answer 1

В числителе и знаменателе дроби аналитические функции. Значит, конечные особые точки - это нули знаменателя. Это, соответственно, $z_1=0;z_2=2i;z_3=-2i$.

1) $\lim\limits_{z\to 0}\dfrac{1}{z(z^2+4)^2}=\dfrac{1}{16}\lim\limits_{z\to 0}\dfrac{1}{z}=\infty$

2) $\lim\limits_{z\to 2i}\dfrac{1}{z(z^2+4)^2}=\dfrac{1}{2i}\lim\limits_{z\to 2i}\dfrac{1}{(z^2+4)^2}=\infty$

3) $\lim\limits_{z\to -2i}\dfrac{1}{z(z^2+4)^2}=-\dfrac{1}{2i}\lim\limits_{z\to 2i}\dfrac{1}{(z^2+4)^2}=\infty$

Значит, все конечные особые точки - полюса.

Исследуем $z_0=\infty$.

$\lim\limits_{z\to \infty}\dfrac{1}{z(z^2+4)^2}=0$

Значит, $z_0=\infty$ также является полюсом.

Answer 2

Ответ:

в точке z=0 функция терпит разрыв и это точка разрыва II рода

при z → ±∞  функция стремится к 0

Объяснение:

$\displaystyle f(z) =\frac{1}{z(z^2+4)^2}$

Функция не определена в точке z=0

исследуем поведение функции в этой точке

Для этого найдем пределы справа и слева для точки z=0

$\displaystyle \lim_{z \to +0}\bigg ( \frac{1}{z(z^2+4)^2} \bigg )=\infty\\ \\ \\ \lim_{z \to -0}\bigg ( \frac{1}{z(z^2+4)^2} \bigg )=-\infty$

Если в точке разрыва   хотя бы один из односторонних пределов равен ∞ или не существует, то это точка разрыва II рода.

Поведение функции на бесконечности

$\displaystyle \lim_{z \to +\infty} \frac{1}{z(z^2+4)^2} = \lim_{z \to +\infty} \frac{1}{z}* \lim_{z \to +\infty} \frac{1}{(z^2+4)^2}=\\ \\ \\ =\frac{1}{ \lim_{z \to +\infty} (z) } *\frac{1}{ \lim_{z \to +\infty} ((z^2+4)^2) } =0$

Предел при z → -∞  аналогично равен 0

ответ

в точке z=0 функция терпит разрыв и это точка разрыва II рода

при z → ±∞  функция стремится к 0