Question

помогите пожалуйста, даю 100 баллов, не поняла тему :(

вычислить:
1) x^2 - 12x + 19 = 0
x1*(1-x1) + x2*(1-x2)

2) x^2 - 4x+1=0
(x1 - 1/x1) + (x2-1/x2)

составить уравнение на основе корней по теореме виета:
а) 4; -3
б) 5; 2
в) -3; -7

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ x^2-12x+19=0$

По теореме Виета сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену .      

           $x_1+x_2=12\ \ \ ,\ \ \ x_1\cdot x_2=19$

Воспользуемся формулой квадрата суммы.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\\\\\\x_1\cdot (1-x_1)+x_2\cdot (1-x_2)=x_1-x_1^2+x_2-x_2^2=(x_1+x_2)-(x_1^2+x_2^2)=\\\\=12-\Big((x_1+x_2)^2-2x_1x_2\Big)=12-(x_1+x_2)^2+2x_1x_2=\\\\=12-12^2+2\cdot 19=12-144+38=-94$  

$2)\ \ x^2-4x+1=0\ \ \Rightarrow \ \ x_1+x_2=4\ ,\ \ x_1x_2=1\\\\\\\Big(x_1-\dfrac{1}{x_1}\Big)+\Big(x_2-\dfrac{1}{x_2}\Big)=\dfrac{x_1^2-1}{x_1}^{|x_2}+\dfrac{x_2^2-1}{x_2}^{|x_1}=\dfrac{x_1^2x_2-x_2+x_2^2x_1-x_1}{x_1x_2}=\\\\\\=\dfrac{x_1x_2\cdot (x_1+x_2)-(x_1+x_2)}{x_1x_2}=\dfrac{1\cdot 4-4}{1}=4-4=0$

$3)\ \ a)\ \ x_1=4\ ,\ x_2=-3\ \ \to \ \ x_1+x_2=1\ \ ,\ \ x_1x_2=-12\\\\x^2-x-12=0\\\\b)\ \ x_1=5\ ,\ x_2=2\ \ \to \ \ \ x_1+x_2=7\ ,\ \ x_1x_2=10\\\\x^2-7x+10=0\\\\c)\ \ x_1=-3\ ,\ x_2=-7\ \ \to \ \ \ x_1+x_2=-10\ \ ,\ \ x_1x_2=21\\\\x^2+10x-21=0$