Question

Решите подробно ! Правильный ответ 544

Answer 1

Ответ:

Площадь параллелограмма ABCD равна 544 см².

Объяснение:

Требуется найти площадь параллелограмма.

Дано: Окр.О,R; Окр.О₁,R;

ABCD - параллелограмм;

М, Р, Т, Е, Н, К - точки касания.

АВ = 18 см; R = 8 cм.

Найти: S (ABCD)

Решение:

• Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

1.

• Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

⇒ МВ = ВР; МА = АК; ТС = ТЕ; ED = DH.     (1)

• Противоположные стороны параллелограмма равны.

⇒ АВ = CD = 18см.

или

ВМ + МА = СЕ + ЕD = 18 см

Из равенств (1) ⇒

ВР + АК = ТС + НD = 18 см     (2)

2. Рассмотрим ΔАОК и ΔО₁ТС.

• Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

⇒ ΔАОК и ΔО₁ТС - прямоугольные.

• Противоположные углы параллелограмма равны.

⇒ ∠А = ∠С.

• Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла.

⇒ ∠ОАК = ∠ТСО₁

ОК = ОТ = R

⇒ ΔАОК и ΔО₁ТС  (по катету и острому углу)

⇒ АК = ТС (как соответственные элементы).

3. Рассмотрим ΔОВР и ΔHOD.

Аналогично п.2 получим, что ΔОВР = ΔHOD.

⇒ ВР = НD.

4. Перепишем равенство (2)

ВР + АК = ТС + НD = 18 см

или, учитывая п.2 и п.3.:

HD + АК = ВР + ТС = 18 см

5. Рассмотрим КОО₁Н.

ОК = О₁Т = R

• Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

⇒ ОК || О₁Т

• Если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

⇒  КОО₁Н - параллелограмм.

ОО₁ = КН = 2R = 16 см.

6. Найдем высоту и основание параллелограмма.

КР = 2R = 16 см - высота.

AD = AK + HD + KH = 18 + 16 = 34 (см) - основание.

7. Найдем площадь:

S (ABCD) = AD · KP = 34 · 16 = 544 (см²)

Площадь параллелограмма ABCD равна 544 см².