Question

Решить систему уравнений:
$x {}^{y} = y {}^{x} \\ x {}^{3} = y {}^{2}$
​

Answer 1

Ответ:

(1;1) и (2.25 ; 3.375)

Объяснение:

Выражаем из второй строки x:
прологарифмируем по основанию е (натуральный логарифм): 3lnx = 2lny => lnx = (2lny)/3 => x = e^(2lny/3) => x = (e^lny)^(2/3) => x = y^(2/3).

Подставляем вместо y^(2/3) вместо x в первом уравнении:
$({y^{y/3}})^2 = y^{y^{2/3}}$
${y^{2y/3}} = y^{y^{2/3}}$

А вот здесь переломный момент. Рассмотрим два случая, либо y=1, либо y!=1.
если y=1, то у нас получается верное равенство: 1=1. Возвращаемся к иксу: x=y^(2/3) => x = 1^(2/3) => x = 1. Значит, пара (1;1) - решение.

А если y != 1, то можем спокойно логарифмировать по основанию y:
logy(y^(2y/3)) = logy(y^y^2/3)
2y/3 = y^(2/3)
Делим обе части на y:
2/3 = y^(-1/3)
2/3 = 1/cbrt(y) (cbrt = кубический корень)
2/3 = 2/2cbrt(y)
2cbrt(y) = 3
cbrt(y) = 1.5
y = (1.5)^3 = (15/10)^3 = (3/2)^3 = 27/8 = 3.375
Возвращаемся к тому, что x = y^(2/3).
Как мы уже знаем, cbrt(y) = y^(1/3) = 1.5. Тогда y^(2/3) = (1.5)^2 = 2.25.
Значит, y=3.375; x = 2.25
----------------
Ответа два: (1;1) и (2.25;3.375)