Question

Найдите все пары ( x y) , для которых выполняется неравенство
$12x-2x^{2}-13\geq \sqrt{3y^{2}-24y+73}$
пожалуйста с подробным объяснением

Answer 1

Ответ: $(3;4)$

Пошаговое объяснение:

Необходимо решить неравенство:

$12x - 2x^2 - 13\geq \sqrt{3y^2-24y+73}$

Для начала дам одну удобную формулу для расчета ординаты вершины параболы через ее абсциссу, чтобы разбавить чем-нибудь интересным слишком скучную задачку. Можете показать своему учителю.

Пусть имеется произвольный квадратный трехчлен:

$P(x) = ax^2 + bx + c$

Найдем абсциссу его вершины:

$x_{v} = \frac{-b}{2a}$

Теперь найдем  ординату его вершины и преобразуем ее к удобному виду:

$y_{v} = P(x_{v})= a*(\frac{-b}{2a})^2 + b *\frac{-b}{2a} + c\\y_{v} = a*(\frac{-b}{2a})^2 -2a*(\frac{-b}{2a})^2 + c \\y_{v} = P(x_{v}) = c - ax_{v}^2$

Последняя формула иногда является удобной при расчете ординаты вершины параболы.

Рассмотрим квадратный трехчлен (параболу):

$P_{1} (x) = 12x-2x^2-13$

Ветви данной параболы идут вниз, ибо коэффициент $a < 0$.

Значит в вершине данной параболы достигается НАИБОЛЬШЕЕ значение.

Найдем координаты вершины данной параболы:

$x_{v} = \frac{-b}{2a} = \frac{-12}{-4} = 3\\P_{1}(x_{v}) = -13 + 2*3^2 = 5$

Как видим, наибольшее значение данной параболы равно: $5$, а достигается оно при $x = 3$.

Рассмотрим подкоренную параболу справа:

$P_{2}(y) = 3y^2 -24y + 73$ (Не путайте обозначения букв вершин! Тут многочлен зависит от $y$, поэтому АБСЦИССА вершины (не ОРДИНАТА!) будет обозначаться как $y_{v}$, а ордината, как и в предыдущем случае, $P_{2} (y_{v} )$, чтобы не запутаться в обозначениях.)

Ветви данной параболы идут вверх, ибо коэффициент $a > 0$.  

Значит в вершине данной параболы достигается НАИМЕНЬШЕЕ значение.

Найдем координаты вершины данной параболы:

$y_{v} = \frac{-b}{2a} = \frac{24}{6} = 4\\P_{2} (y_{v}) = 73 - 3*4^2 = 73 - 48 = 25$

Как видим, наименьшее значение данной параболы равно: $25$, а достигается оно при $y = 4$.

Таким образом, наименьшее значение для подкоренной функции справа равно:

$\sqrt{25} = 5$

Откуда видно, что НАИБОЛЬШЕЕ значение левой части нашего неравенства совпадает с НАИМЕНЬШИМ значением правой части нашего неравенства, иначе говоря, левая часть часть неравенства не может быть больше правой.

Другими словами случай, когда:

$12x - 2x^2 - 13\ > \sqrt{3y^2-24y+73}$

невозможен.

Остается рассмотреть вариант, когда:

$12x - 2x^2 - 13 = \sqrt{3y^2-24y+73}$

Равенство наступает только когда левая и правая часть равна $5$, то есть когда:

$x = 3\\y = 4$

Таким образом, пара $(3;4)$  является единственным решением данного неравенства.