Question

В основании треугольной пирамиды SABC лежит треугольник ABC, у которого AC=8, BC=15, AB=17. Вершина S пирамиды SABC удалена на расстояние $\sqrt{39}$ от каждой из прямых AC, BC и AB. Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{10}{\mathrm{ctg} ^2\varphi \cdot \mathrm{tg}^2\alpha }$, где φ - линейный угол двугранного угла SABC, α - угол между прямой SB и плоскостью ABC.

Answer 1

Пусть дан тетраэдр SABC, ABC – основание, SO – высота.

AC = 8 см, BC = 15 см, AB = 17 см.

ρ(S; AC) = ρ(S; BC) = ρ(S; AB) = √39 см

∠φ = ∠((SAB);(SAC))
∠α = ∠(SB; (ABC))
 

Найдем значение выражения $\dfrac{10}{\cot{\varphi}^2 * \tan{\alpha}^2 }$

1) Рассмотрим ΔABC,

AB² = BC² + AC² => Треугольник ABC прямоугольный с ∠C = 90°. (за теоремой Пифагора)

2) Пусть ρ(S; AC) = SS₁, ρ(S; BC) = SS₂, ρ(S; AB) = SS₃

Пр(ABC) SS₁ = OS₁  (заметка: плоскость ABC должна записываться в нижнем регистре, но, поскольку LaTeX не позволяет использовать кириллицу, а редактор Знаний - нижний регистр, я продолжу писать таким образом)

Пр(ABC) SS₂ = OS₂

Пр(ABC) SS₃ = OS₃

SS₁ = SS₂ = SS₃ ⇒ OS₁ = OS₂ = OS₃, О – центр вписанной окружности. (следствие из свойства пирамиды про равенство углов, под которыми наклонены грани пирамиды)

3) $r = \dfrac{a+b-c}{2}$  (радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник)

r = 3 см

4) SO ⊥ (ABC)  |

OS₁ ⊂ (ABC)  |

=> SO ⊥ OS₁ (из определения перпендикулярной прямой и плоскости)

5) ΔSOS₁, ∠O = 90°

$SO= \sqrt{SS_1^2 - OS_1^2}$ (из теоремы Пифагора)

SO = √30 см

6) SS₁ ⊥ AC                   |
   OS ⊥ OS₁                   |
   Пр (ABC) SS₁ =  OS₁  |
⇒   OS ⊥ AC (Теорема про три перпендикуляра)
Аналогично для SS₂ и SS₃, OS₂ ⊥ BC и OS₁ ⊥ AB соответственно.

7) (SAB) ∩ (ABC) = AB |

OS₃ ⊂ (ABC) |
OS₃ ⊥ AB |
SS₃ ⊂ (SAB) |
SS₃ ⊥ AB |
⇒ ∠ SS₃O - линейный угол двугранного угла SABC.

ΔSOS₃, ∠O = 90°

$\cot{\angle{S_3}} = \dfrac{OS_3}{OS}$ (тригонометрические ф-ы прямоугольного треугольника)
$\cot{\angle{S_3}} = \sqrt{\dfrac{3}{10}}$

8) Пр (ABC) SB = OB |
SO ⊥ (ABC) |

OB ⊂ (ABC) |

⇒ ∠ (SB; (ABC)) = ∠ SBO (угол между прямой и плоскостью)

9) ΔBOS₂, ∠S₂ = 90°
BS₂ = BC - CS₂

10) CS₂ ⊥ AC |
OS₁ ⊥ AC |
⇒ CS₂ ║ OS₁ (теорема о перпендикулярности двух прямых к третьей)

Аналогично CS₁ ║ OS₂ ⇒ OS₁CS₂ - параллелограмм

OS₁CS₂ - параллелограмм ⇒ OS₁ = CS₂ = 3 см (противоположные стороны параллелограмма)

11) ΔBOS₂, ∠S₂ = 90°

BS₂ = 12 см

$BO = \sqrt{OS_2^2+BS_2^2}$ (из теоремы Пифагора)
$BO = \sqrt{153}$ см

12) SO ⊥ (ABC) |

OB ⊂ (ABC) |

=> SO ⊥ OB (из определения перпендикулярной прямой и плоскости)

ΔSOB, ∠O = 90°

$\tan{\angle{B}} = \dfrac{SO}{OB}$ (тригонометрические ф-ы прямоугольного треугольника)
$\tan{\angle{B}} = \sqrt{\dfrac{10}{51} }$

13) $\dfrac{10}{\cot{\varphi}^2 * \tan{\alpha}^2 } = \dfrac{10}{\dfrac{3*10}{10*51} } = 170$

Ответ: 170.

(заметка: знак "|" после определенного утверждения является сплошной чертой возле всех помеченных также утверждений в одном пункте, суммируя все утверждения для вывода. Обычный редактор Знаний не позволяет сделать это для оформления ответа.)