Question

Какое количество членов арифметической прогрессии нужно сложить, если a 1 =11,d=6, а сумма не должна превосходить 2001?

Answer 1

$(a_n)$ - арифметическая прогрессия

$a_1=11$

$d=6$

$S_n\leq 2001$

$n=?$      (ОДЗ: ;    $n$∈$N$)

Решение

1)   $Sn=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}*n$   - формула суммы арифметической прогрессии.

$\frac{2a_1+(n-1)d}{2}*n \leq 2001$

$\frac{2*11+(n-1)*6}{2}*n \leq 2001$

$[11+(n-1)*3]*n \leq 2001$

$(11+3n-3)*n \leq 2001$

$3n^2+8n \leq 2001$

$3n^2+8n-2001 \leq 0$

$D=64-4*3*(-2001)=64+24012=24076$  

$\sqrt{D}=\sqrt{24076}=155, 16$ ≈ $155$

$n_1=\frac{-8-155}{2*3} =-27 < 0$  не удовлетворяет условию.

$n_2=\frac{-8+155}{2*3} =\frac{147}{6}= 24,5 > 0$ удовлетворяет условию.

2)   Для  $n=24,5$  ближайшими натуральными являются числа $24$ и $25$.

3)   Проверим $n=24$

$S_{24}=\frac{2*11+(24-1)*6}{2}*24=(22+138)*12=1920$

$S_{24}\leq 2001$  удовлетворяет условию!

24 члена данной арифметической прогрессии нужно сложить,  чтобы  их сумма не превосходила числа 2001.

4)    Проверим $n=25$

$S_{25}=\frac{2*11+(25-1)*6}{2}*25=(22+144)*12,5=2075$

$S_{25} > 2001$ не удовлетворяет условию.

Ответ: 24