Question

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения, допускающего понижения порядка.
(y') ^2+2yy"=0
y(0)=1
y'(0)=1

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Пошаговое объяснение:  y'²+2yy"=0;  y(0)=y'(0)=1

Делаем стандартную замену y'=p(y), тогда y″=p′·p. Подставляя в уравнение, получаем  p²+2y·dp/dy · p=0

Разделяя переменные, при p≠0, имеем  dp/p= - dy/(2y)

Интегрируя, получаем  lnp= -1/2· lny +lnC

⇒ p=C/√y  ⇒  y'=C/√y , но y(0)=y'(0)=1⇒ y'(0)=C/√y(0) ⇒ С=1

Тогда  если  y'=C/√y ⇔dy/dx= C/√y ⇔ √y ·dy=Cdx

Интегрируя последнее равенство, окончательно получаем  

(2/3) ·y^(3/2) =Cx+C₁  -общее решение

Так как y(0)=1, то (2/3) ·1^(3/2) =C·0+C₁ ⇒ C₁=2/3

(2/3) ·y^(3/2) =1x+2/3  ⇒ частное решение  y^(3/2) =1,5х+1