Question

Розв'яжіть нерівність: log3 (2x-1) + log3 (x-9) < 2

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

фото

Answer 2

$\log_3\left(2x-1\right) + \log_3\left(x-9\right) < 2$

Для начала найдем область допустимых значений самих логарифмов. Мы знаем, что выражение, находящееся под знаком логарифма, всегда должно быть положительным. Тогда:

$\begin{equation*}\begin{cases}2x -1 > 0\\x - 9 > 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}2x > 1\\x > 9\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}2x > 1\\x > 9\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x > 0.5\\x > 9\end{cases}\end{equation*}$

Объединением этих двух промежутков является  $x > 9$ , или $\boxed{\boldsymbol{x\in\left(9;\ +\infty\right)}}$ , значит, это и будет областью допустимых значений.

Теперь перейдём к самому нашему неравенству и начнём упрощать его. По свойству логарифмов: $\boldsymbol{\log_ax + \log_ay = \log_axy}$.

$\log_3\left(\left(2x-1\right)\left(x-9\right)\right) < 2$

Теперь раскроем скобку:

$\log_3\left(2x^2 - 18x - x + 9\right) < 2\\\\\log_3\left(2x^2-19x+9\right) < 2$

Теперь нам надо привести правую часть к логарифму с таким же основанием, что и в левой части. Мы знаем, что  $\boldsymbol{2 = \log_39}$ . Подставим это в неравенство.

$\log_3\left(2x^2-19x+9\right) < \log_39$

Теперь и в левой, и в правой части у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, и мы можем сравнить выражения под знаком логарифма. Но прежде обратим внимание на основание. Основание равно 3, что больше единицы, значит, знак неравенства не меняется.

$2x^2 - 19x + 9 < 9\\\\2x^2 - 19x < 0\\\\x\left(2x - 19\right) < 0$

Для начала найдем значения, при которых множители в левой части обратятся в ноль. С первым множителем всё просто, получаем  $\boldsymbol{x = 0}$, а теперь найдём ноль второго множителя.

$2x - 19 = 0\\\\2x = 19\\\\\boldsymbol{x = \dfrac{19}{2}}$

Решим неравенство методом интервалов.

             +                              -                                +

--------------------------о--------------------------о-------------------------->

                             $0$                               $\frac{19}{2}$                              $x$

Так как неравенство имеет знак "меньше", то нам надо выбрать те промежутки, где стоит знак "минус". Такой только один: $\boldsymbol{x\in\left(0;\ \frac{19}{2}\right)}$ . Но не забываем про найденную нами в самом начале область определения, согласно которой наш $x$ не может быть меньше, чем 9. Таким образом, наша левая граница сдвигается к 9, а правая остаётся такой же. И получаем финальный ответ: $\boxed{\boldsymbol{x\in\left(9;\ \frac{19}{2}\right)}}$ .

Ответ: $\boldsymbol{x\in\left(9;\ \dfrac{19}{2}\right)}$ .