Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

Метод математической индукции:

Для того, чтобы доказать, что некоторое утверждение верно при натуральном $n$ необходимо выполнить следующие условия:

База индукции:

• 1) Доказать, что утверждение верно при $n = 1$

Индуктивный переход:

• 2) Сделать гипотезу, что утверждение верно для $n = k$ и на основании данной гипотезы доказать, что утверждение верно для $n = k + 1$

Если выполнены утверждения 1) и 2), то исходное утверждение доказано для всех натуральных $n$ методом математической индукции.

22.18

Воспользуемся методом математической индукции:

$\underbrace{ \sqrt{2+ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2} } } }}_{n} < 2$

База индукции:

$n = 1$

$\sqrt{2} < 2$ - верно

Индуктивный переход:

$n = k;$

$\boxed{\underbrace{ \sqrt{2+ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2} } } }}_{k} < 2}$ - пусть верно

Необходимо доказать:

$n = k + 1;$

$\underbrace{ \sqrt{2 + \underbrace{ \sqrt{2+ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2} } } }}_{k}} }_{k + 1} < 2$

Так как по индуктивному предположению $\underbrace{ \sqrt{2+ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2} } } }}_{k} < 2$, то усилим неравенство для $n = k + 1$ заменим вложенные корни числом 2, так как по индуктивному предположению 2 больше чем $n$ вложенных корней.

Так как все таки для $k$ вложенных корней меньше чем 2, то сумма

2 + 2 = 4 меньше чем 4, то есть корень чуть меньше. Разницу между запишем с помощью $a$  при $a \to +0$

$\sqrt{2 + 2 - a} < 2$

$\sqrt{4 - a} < 2$ - верно

22.19

Воспользуемся методом математической индукции:

$\underbrace{ \sqrt{6+ \sqrt{6 + \sqrt{6 + \ldots + \sqrt{6} } } }}_{n} < 3$

База индукции:

$n = 1$

$\sqrt{6} < 3$

$(\sqrt{6})^{2} < 3^{2}$

$6 < 9 \Longrightarrow \boxed{\sqrt{6} < 3}$ - верно

Индуктивный переход:

$n = k;$

$\boxed{\underbrace{ \sqrt{6+ \sqrt{6+ \sqrt{6 + \ldots + \sqrt{6} } } }}_{k} < 3}$ - пусть верно

Необходимо доказать:

$n = k + 1;$

$\underbrace{ \sqrt{6 + \underbrace{ \sqrt{6+ \sqrt{6 + \sqrt{6 + \ldots + \sqrt{6} } } }}_{k}} }_{k + 1} < 3$

Так как по индуктивному предположению $\underbrace{ \sqrt{6+ \sqrt{6 + \sqrt{6 + \ldots + \sqrt{6} } } }}_{k} < 3$, то усилим неравенство для $n = k + 1$ заменим вложенные корни числом 3, так как по индуктивному предположению 3 больше чем $n$ вложенных корней.

Так как все таки для $k$ вложенных корней меньше чем 3, то сумма

6 + 3 = 9 меньше чем 9, то есть корень чуть меньше. Разницу между запишем с помощью $a$  при $a \to +0$

$\sqrt{6+ 3 - a} < 3$

$\sqrt{9 - a} < 3$ - верно