Question

Помогите пожалуйста решить задачу ​

Answer 1

Ответ:

$\sum\limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{n}\cdot n}{1\cdot 3\cdot 5\cdot ,,,\cdot (2n-1)}$

Составим ряд из абсолютных величин  $\sum\limits _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=\sum\limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{n}{1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (2n-1)}\ \ ,\ \ \ |a_{n}|=\dfrac{n}{1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (2n-1)}\ ,\\\\\\|a_{n+1}|=\dfrac{n+1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (2n-1)(2n+1)}$

Признак Даламбера.

$\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n+1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (2n-1)(2n+1)}\cdot \dfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (2n-1)}{n}=\\\\\\=\lim\limits_{n \to \infty}\, \dfrac{1}{2n+1}=0 < 1\ \ \Rightarrow \ \ sxoditsya$

Ряд, составленный из абсолютных величин сходится, значит знакочередующийся ряд сходится абсолютно .