Question

Помогите пожалуйста решить задачу ​

Answer 1

Объяснение.

$\displaystyle \bf 1)\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{4n+3}{3^{n}}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ a_{n}=\frac{4n+3}{3^{n}}\ ,\ a_{n+1}=\frac{4n+7}{3^{n+1}}$

Применяем признак Даламбера

$\displaystyle \bf \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n \to \infty}\frac{4n+7}{3^{n+1}}\cdot \frac{3^{n}}{4n+3}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{3}=\frac{1}{3} < 1$

Ряд сходится

$\displaystyle \bf 2)\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{|sinx|}{n\sqrt{n}}$

Так как  $|sinx|\leq 1$  при любом х, то подбираем мажорантный ряд    $\displaystyle \bf \sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$    , который будет сходящимся, т.к. это обобщенный

гармонический ряд с показателем  3/2>1 .

Исходный функциональный ряд сходится при любом х ,  

$\bf x\in (-\infty ;+\infty )$

$\displaystyle \bf 3)\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\Big(\frac{2n+1}{2n+2}\Big)^{n^2}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ a_{n}=\Big(\frac{2n+1}{2n+2}\Big)^{n^2}$

Применяем радикальный признак Коши.

$\displaystyle \bf \lim\limits _{n \to \infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim\limits _{n \to \infty}\sqrt[n]{\Big(\frac{2n+1}{2n+2}\Big)^{n^2}}=\lim\limits _{n \to \infty}\Big(\frac{2n+1}{2n+2}\Big)^{n}=\lim\limits _{n \to \infty}\Big(1+\frac{-1}{2n+2}\Big)^{n}=\\\\\\=\lim\limits _{n \to \infty}\Big(1+\frac{-1}{2n+2}\Big)^{\frac{2n+2}{-1}\cdot \frac{-n}{2n+2}}=e^{\lim\limits _{n \to \infty}\frac{-n}{2n+2}}=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}} < 1$

Ряд сходится .