Question

Найдите остаток от деления числа 3^80 на 11. Пожалуйста, очень срочно)))))

Answer 1

Ответ:   Остаток от деления числа 3⁸⁰ на 11 равен 1

Объяснение:

Число 11 простое , а значит число различных остатков будет равно
11-1 = 10  , тогда рассмотрим  остатки от деления  на 11 от 3¹ до 3¹¹


$1) ~3 : 11 = 3 ~\rm OCT \\\\ 2) ~9 : 11 = 9 ~ \rm ~ OCT \\\\ 3) ~ 27 : 11 = 5 ~~ OCT \\\\ 4) ~ (5\cdot 3): 11 = 4 ~ OCT \\\\ 5) ~ (4 \cdot 3): 11 = 1 ~ OCT \\\\ \underline{6) ~ (1 \cdot 3) : 11 = 3 ~ OCT }$

Дальше можно не продолжать , т.к остатки начали повторятся раньше , в этом случае их период равен 5-ти  

Тогда ,  если разделить период на степень выходит остаток 0 , поэтому нам нужно найти остаток от деления  3⁵ : 11


$3^{80} : 11= 3^{\bold5 \cdot 16 } : 11$

$3^5 : 11 = \boldsymbol{1 ~ \rm OCT}$