Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

Так как по условию $n \in \mathbb N$, то при решении можно не учитывать ОДЗ

1)

$2\sqrt{n} - 2\sqrt{n - 1} > \dfrac{1}{\sqrt{n}} \bigg| \cdot \sqrt{n}$

$2n - 2\sqrt{n(n - 1)} > 1$

$2n - 1 > 2\sqrt{n^{2} - n}$

$(2n - 1)^{2} > (2\sqrt{n^{2} - n})^{2}$

$4n^{2} - 4n + 1 > 4(n^{2} - n)$

$4n^{2} - 4n + 1 > 4n^{2} - 4n$

$1 > 0$ - верно

2)

$2\sqrt{n + 1} - 2\sqrt{n} < \dfrac{1}{\sqrt{n} } \bigg|\cdot \dfrac{\sqrt{n} }{1}$

$2\sqrt{n(n + 1)} - 2n < 1$

$2\sqrt{n^{2} + n} < 1 + 2n$

$(2\sqrt{n^{2} + n})^{2} < (1 + 2n)^{2}$

$4(n^{2} + n) < 4n^{2} + 4n + 1$

$4n^{2} + 4n < 4n^{2} + 4n + 1$

$0 < 1$ - верно