Question

У трикутнику ABC зовнівписане коло, що лежить навпроти кута С, дотикається до сторони AB У точці Т. Нехай J- центр зовнівписаного кола, що лежить навпроти кута А, а M- середина AL. Доведіть, що трикутник МТС рівнобедрений.​

Answer 1

В треугольнике ABC вневписанная окружность против угла С касается стороны AB в точке T. Пусть J центр вневписанной окружности против угла А, а M середина AJ. Докажите, что треугольник MTC равнобедренный.

Рассмотрим вневписанную окружность против угла С.

X и Y - точки касания на продолжениях сторон.

По т об отрезках касательных из одной точки

CX=CY, AX=AT, BT=BY

P =AC+AT+BC+BT =AC+AX+BC+BY =CX+CY

Видим, что отрезок CX равен полупериметру треугольника ABC.

Аналогично AK равен полупериметру => AK=CX => CK=AX=AT

∠JKA=90° (радиус в точку касания перпендикулярен касательной)

KM=AM (медиана из прямого угла равна половине гипотенузы)

∠MKA=∠MAK (△AMK - р/б)

∠MAK=∠MAT (AJ - биссектриса)

=> ∠MKA=∠MAT

△MKC=△MAT (по двум сторонам и углу между ними) => MC=MT