Question

Найти общее решение интеграл линейного дифференциального уравнения

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ \boldsymbol{ y = \dfrac{x}{x + 1}\bigg(x + \ln |x | + C \bigg) } }$ - общее решение

Пошаговое объяснение:

$xy' - \dfrac{y}{x + 1} = x|:x$

$y' - \dfrac{y}{x^{2} + x} = 1$

Применим метод Бернулли

Замена: $y = uv; y' = u'v + uv'$

(Примечание: $u \Longleftrightarrow u(x), v \Longleftrightarrow v(x))$

$u'v + uv'- \dfrac{uv}{x^{2} + x} = 1$

$u'v + u \bigg(v'- \dfrac{v}{x^{2} + x} \bigg) = 1$

Система:

$\displaystyle \left \{ {{1.\ \bigg(v'- \dfrac{v}{x^{2} + x} \bigg) =0 } \atop {2. \ u'v =1}} \right.$

$1.$

$v'- \dfrac{v}{x^{2} + x} = 0$

$\dfrac{dv}{dx} = \dfrac{v}{x^{2} + x}$

$\dfrac{dv}{v} = \dfrac{dx}{x^{2} + x}$

$\displaystyle \LARGE \int \dfrac{dv}{v} = \LARGE \int \dfrac{dx}{x^{2} + x}$

$\displaystyle \LARGE \int \dfrac{dv}{v} = \LARGE \int \dfrac{dx}{x^{2} + 2 \cdot \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} }$

$\displaystyle \LARGE \int \dfrac{dv}{v} = \LARGE \int \dfrac{d \bigg (x + \dfrac{1}{2} \bigg) }{\bigg (x + \dfrac{1}{2} \bigg )^{2} - \bigg( \dfrac{1}{2} \bigg )^{2} }$

$\ln |v| = \dfrac{1}{2 \cdot 0,5} \ln \bigg |\dfrac{x + 0,5 - 0,5 }{x + 0,5 + 0,5 } \bigg |$

$\ln |v| = \ln \bigg | \dfrac{x}{x + 1} \bigg | \Longrightarrow \boxed{\boldsymbol{ v = \dfrac{ x}{x + 1}} }$

$2.$

$u'v =1$

$u'\cdot\dfrac{ x}{x + 1} = 1$

$u' = \dfrac{x + 1}{x}$

$\dfrac{du}{dx} = \dfrac{x + 1}{x}$

$du = \dfrac{x + 1}{x} \ dx$

$\displaystyle \int du = \int \dfrac{x + 1}{ x} \ dx$

$\displaystyle u = \int \dfrac{x + 1}{ x} \ dx$

а)

$\displaystyle \int \dfrac{x + 1}{ x} \ dx= \int \bigg( \dfrac{x }{ x} +\frac{1}{x} \bigg) \ dx = \int \bigg(1 + \frac{1}{x} \bigg) \ dx = x + \ln |x| + C$

$\boxed{ \boldsymbol{ u = x + \ln |x| + C }}$

------------------------------------------------------------------------------------------------------

$y = uv = \dfrac{x}{x + 1}\bigg(x + \ln |x | + C \bigg)$

$\boxed{ \boldsymbol{ y = \dfrac{x}{x + 1}\bigg(x + \ln |x | + C \bigg) } }$ - общее решение